普林斯顿微积分读本 V

Thu, 13 May 2021 00:00:00 +0000

§积分的方法（一）

替代法（substitution）
分部积分法（integration by parts）
使用部分积分对有理函数求积分

18.1 替代法

Example1

$$ \begin{aligned} \int{x^2\cos(x^3)\mathrm{d}x} &=\int{\cos(x^3)(x^2\mathrm{d}x)}\\ &=\int{\cos(t)({1\over3}\mathrm{d}t)}={1\over3}\sin(t)+C \\ \int{e^{2x}\sec^2(e^{2x})\mathrm{d}x} &=\int{\sec^2(e^{2x})(e^{2x}\mathrm{d}x})\\ &=\int{\sec^2(t)({1\over2}\mathrm{d}t)}={1\over2}\tan(t)+C \end{aligned} $$

Example2

$$ \int{\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x}=\ln|f(x)|+C $$

Example3

$$ \int\frac{1}{x\ln{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1/x}{\ln{x}}\mathrm{d}x=\ln|\ln{x}|+C $$

18.1.1 换元法和定积分

So one way to use the substitution method on a definite integral is to focus on the indefinite integral first, then after you’ve found it, plug in the limits of integration.

换元法：先换元求不定积分，然后把积分上下限分别代入求定积分；或者对上下限也进行换元计算

Example

$$ \int_{1/\sqrt{2}}^{\sqrt{3}/2}{\frac{1}{\sin^{-1}(x)\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x} $$

$\arcsin(x)$ 的导数是 $1\over\sqrt{1-x^2}$，所以用 $t=\arcsin(x)$

$$ \int{\frac{1}{\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x}=\int{\frac{1/\sqrt{1-x^2}}{\arcsin(x)}\mathrm{d}x}\int{1\over{t}}\mathrm{d}t=\ln|t|+C $$