当混淆因素隐匿于幕后

Mon, 27 Jun 2022 00:00:00 +0000

基本问题

所谓混淆因素，指的是与处理（treatment）及结果（outcome）皆有联系之变量。若不予控制，易致偏差，令我们所得结论非因果关系之实，乃混淆所致之假象。然而，倘若混淆因素不可观测（unobserved confounding），我们又该如何在未知中求解因果？

界限估计

当我们不能妄断“unconfoundedness”的条件成立，则需要借助弱假设，推导出因果效应的区间（interval）估计。这类方法一般依赖部分识别（partial identification）之思想，亦即在无法完全排除混淆时，通过宽泛但合理的假设，限定因果效应的可能范围。

如 Bounding methods 并不假设完全无混淆（unconfoundedness），而是假设混淆的影响在某特定范围内。借此，我们可以得出一个因果效应的上下界，而非唯一值之估计。这种思路可以在不严苛的假设之下，仍提供有意义的推断。

“The Law of Decreasing Credibility: the credibility of inference decreases with the strength of the assumptions maintained.”

No-Assumptions Bound

对二元（binary）之个体处理效应（ITE）而言，其最大值和最小值为

$$ -1 \leq Y_i(1)-Y_i(0) \leq 1 \qquad \text{if } \forall t,0 \leq Y(t) \leq 1 $$

故平均处理效应（ATE）之区间长度也都在 $2$ 之内。

在无需任何假设的条件下，较之 ITE，ATE 的区间长度可减半，即 ATE 将落于长度为 $1$ 的区间内。

ASSUMPTION Bounder Potential Outcomes

$$ \forall t,a \leq Y(t) \leq b $$

根据该假设，易得

$$ \begin{aligned} a-b \leq Y_i(1)-Y_i(0) \leq b-a \\\ a-b \leq \Bbb{E}[Y_i(1)-Y_i(0)] \leq b-a \end{aligned} $$

ITE 的区间长度为 $(b-a)-(a-b)=2(b-a)$.

衡量因果推论之稳定性

Wed, 27 Apr 2022 00:00:00 +0000

敏感性分析（sensitivity analysis）乃衡量因果推论之稳定性所用。当研究中存有不可观测混淆因素时，结论或受此影响而失真，敏感性分析可助吾等评估此种未知因素对估计因果效应之干扰程度。今撰此小文，略述其要义。

基本原理

敏感性分析旨在通过设定不同假想情境，量化未观测混淆之潜在影响。其核心在于引入两个参数：一为混淆因素对处理（treatment）的影响，二为混淆因素对结果（outcome）的影响。通过调整此等参数之值，吾辈可模拟不同程度之混淆，并观察因果效应估计之变化。

若吾等发现某结论在较大范围之参数变动中仍保持稳健，则可对所得推断更有信心；反之，若结论在微小假设变化下便剧烈波动，则应审慎看待，或重新考虑所用之假设。

举例而言，在一个线性模型中，考虑可观测的共因 $W$，和不可观测的共因 $U$：

$$ \begin{aligned} T &:= \alpha_w W + \alpha_u U\\\ Y &:= \beta_w W + \beta_u U + \delta T \end{aligned} $$

其中，$\alpha_u$ 乃是混淆因素 $U$ 对处理 $T$ 的影响， $\beta_u$ 则为混淆因素 $U$ 对结果 $Y$ 的影响，$T$ 对 $Y$ 之因果效应表示为 $\delta$。

由调整公式得

$$ \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)]=\Bbb{E}_{W,U}\big[\Bbb{E}[Y|T=1,W,U]-\Bbb{E}[Y|T=0,W,U]\big]=\delta $$

因 $U$ 不可观测，故我们只能对 $W$ 进行调整，混淆因素所致之偏差为 $\frac{\beta_u}{\alpha_u}$。

$$ \Bbb{E}_{W}\big[\Bbb{E}[Y|T=1,W]-\Bbb{E}[Y|T=0,W]\big]-\Bbb{E}_{W,U}\big[\Bbb{E}[Y|T=1,W,U]-\Bbb{E}[Y|T=0,W,U]\big]=\frac{\beta_u}{\alpha_u} $$

证明

据 $Y$ 与 $T$ 之结构方程，可推出 $\implies U=\frac{T-\alpha_w W}{\alpha_u}$，故有

$$ \begin{aligned} \Bbb{E}_W\big[\Bbb{E}[Y|T=t,W]\big] &=\Bbb{E}_W\big[\Bbb{E}[\beta_w W + \beta_u U + \delta T|T=t,W]\big] \\\ &=\Bbb{E}_W\left[\beta_w W + \beta_u \Bbb{E}[U|T=t,W] + \delta t\right] \\\ &=\Bbb{E}_W\left[\beta_w W + \beta_u \left(\frac{t-\alpha_w W}{\alpha_u}\right) + \delta t\right] \\\ &=\Bbb{E}_W\left[\beta_w W + \frac{\beta_u}{\alpha_u}t - \frac{\beta_u\alpha_w}{\alpha_u}W + \delta t\right] \\\ &=\beta_w\Bbb{E}[W]+\frac{\beta_u}{\alpha_u}t - \frac{\beta_u\alpha_w}{\alpha_u}\Bbb{E}[W] + \delta t \\\ &=\left(\beta_w - \frac{\beta_u\alpha_w}{\alpha_u}\right)\Bbb{E}[W]+\left(\delta+\frac{\beta_u}{\alpha_u}\right) t \end{aligned} $$

若我们对 $W$ 进行调整时，根据上式来估计 ATE