有限群体的波动——固定点与随机性的邂逅

Sun, 12 Mar 2023 00:00:00 +0000

雪堆博弈里出现了内部固定点 $x^*$，对应混合纳什均衡。

听起来很美好。

但这只是在 ODE 的世界里。真实世界里，群体是有限的。有限意味着随机。

当固定点遇上随机性，稳定分布和固定点到底是什么关系？

随机与确定的根本区别

先回顾三个对象的定义：

固定点（ODE）： $\frac{dx}{dt} = F(x)$，当 $F(x^*) = 0$ 时，$x^*$ 不再移动。

马尔可夫链稳定分布（stationary distribution）： $\pi P = \pi$，长期后系统有多大概率在各状态。

纳什均衡： 没人愿意单边改变策略。

在囚徒困境里，因为有吸收态 $x = 0$，三者重合。

但雪堆博弈的内部点 $x^*$ 不是吸收态。这就导致了根本性的差异。

在复制子 ODE 里，$x$ 是连续变量，$0 \leq x \leq 1$。

但在真实随机群体里，状态是离散的：

$$k = 0, 1, 2, \ldots, N$$

其中 $k$ 是合作者数量，$x = k/N$。

每次更新只能 $k \to k \pm 1$，不能直接跳到 $x^*$。

假设 $N = 100$，$x^* = 0.4$。这意味着 40 个合作者。