演化的速度与加速度

Sat, 04 Feb 2023 00:00:00 +0000

我不懂演化博弈的数学，Replicator Dynamics 对我来说只是个名词。但我会计算机模拟，Agent-Based Model（ABM）是我的语言。

假如在一个 $n \times n$ 的网格上，按网格数量乘以 population density 生成一群 agents，每一步 agents 带着一个 action 在网格上移动，在 Von Neumann 邻域找另一个 agent 配对，玩一把经典博弈，然后更新 action，进入下一步。所有 agents 更新 action 的方式都一样。以上定义了模型的基本要素。

现在考虑一个关键变量：agents 更新 action 的依据是什么？

一、和邻居比较这一步的得分 $P_1$，下一步变成得分 $P_1$ 高的 action。

二、和邻居比较历史所有博弈的得分 $P_2$，下一步变成得分 $P_2$ 高的 action。

微观设定上，只是"看当前"和"看历史"的区别。但当我试图用数学去描述这两个模型时，发现它们对应着两种完全不同的物理动态：一阶系统与二阶系统，速度与加速度。

下面一步步完成推导。

从代码到方程：平均场近似

在计算机模拟中，有一个 $n \times n$ 的网格，Agent 在上面走动并寻找邻居。数学家做了一个"偷懒"但极其有效的假设——平均场近似（Mean-Field Approximation）：假设网格无限大，且所有人像气体分子一样充分混合，随机相遇。

这意味着什么？假设当前全图有 $x$ 比例的人使用策略 $A$，有 $1-x$ 比例的人使用策略 $B$。在一个极小的时间步 $\Delta t$ 内，随机抓取一个 Agent，他是策略 $B$ 的概率是 $1-x$；他恰好撞见一个策略 $A$ 邻居的概率就是 $x$。所以，"$B$ 遇到 $A$“这个事件发生的联合概率就是 $x(1-x)$。

Inertial-Dynamics on TouchingFish.top

演化的速度与加速度

从代码到方程：平均场近似