普林斯顿微积分读本 II

Mon, 12 Apr 2021 00:00:00 +0000

§微分

定义：

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

例如，$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}({1 \over x}) = -\frac{1}{x^2}$ 和 $\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(\sqrt x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

幂函数 $f(x) = x^n$ 的导数的推导（略），当 $n > 0, n\in\Bbb{Z}$ 时

$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(x^n) = nx^{n-1} $$

在上面的两个例子中，可见 $n = -1, n = 1/2$ 时，等式成立

事实上，对所有实数 $n\in\Bbb{R}$，等式成立（详见第9章）

当 $n = 0$ 时，$x^n = 1$，$nx^{n-1} = 0$，$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(1) = 0$