普林斯顿微积分读本 VI

Thu, 06 May 2021 00:00:00 +0000

§反常积分的基本概念

反常积分（improper integrals）的定义、收敛（convergence）和发散（divergence）
无界区间（over unbounded regions）的反常积分
比较判别法（comparison test）、极限比较判别法、p 判别法和绝对收敛比较判别法的理论基础

20.1 收敛和发散

积分有意义：$\int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x$ 的被积函数在区间 $[a,b]$ 内有界且连续（有限个间断点也可以）的；或者无限多个不连续点（infinitely many discontinuities）（见16.7）

反常积分的定义：满足以下任一条件

$f$ 在区间 $[a,b]$ 内无界
$b=\infty$ 或
$a=-\infty$

If $f(x)$ is unbounded for $x$ near some number $c$, we’ll say that f has a blow-up point at $x = c$. Again, in most situations, this is the same thing as a vertical asymptote.

破裂点（blow-up point）的大多数情况是垂直渐近线，需要使用极限思想

if the integral isn’t improper, it automatically converges!

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20.1 收敛和发散