抽卡与测序的秘诀 / 超几何分布

Sun, 07 Jul 2024 00:00:00 +0000

从一个游戏说起

二十年前，我还是个小学生。每天放学都急着回家看上一集游戏王（Yu-Gi-Oh!）。

这套卡牌游戏有一张传说中的卡——黑暗大法师（Exodia the Forbidden One）。这张卡必须同时集齐五个部件才能生效：右脚、左脚、右手、左手、头部。只要凑齐这五张，直接获胜。

每副卡组四十张。由于规则限制，同一张卡最多只能放三张（某些特卡只能放一张），所以这五个部件在卡组里至多各有一张。

问题来了：开局起手五张牌，恰好集齐全部五个部件的概率是多少？

这是一个经典的"不放回抽样"问题。我们从一副有限的牌堆里抽出若干张，每抽一张，牌堆就少一张，不会重复抽到同一张。（暂时不考虑类似于特殊效果放回牌堆的骚操作）

超几何分布（Hypergeometric Distribution）正是为这类场景设计的。

假设一个有限总体共有 $N$ 个单位，其中成功状态（我们感兴趣的类型）有 $K$ 个，失败状态有 $N-K$ 个。我们从这个总体中不放回地抽取 $n$ 个单位，令 $X$ 表示抽到的成功状态的数量，则 $X$ 服从超几何分布：

$$ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $$

其概率质量函数为：

$$ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = \max(0, n - (N-K)), \ldots, \min(n, K) $$

这个公式的逻辑很清晰：分子是"从 $K$ 个成功中抽到 $k$ 个"与"从 $N-K$ 个失败中抽到 $n-k$ 个"的组合数之积；分母是"从全部 $N$ 个中抽到 $n$ 个"的总组合数。

三个核心参数：

没有放回，没有重复，每一张牌的抽取都改变了下一次抽取的概率。

现在计算开局集齐黑暗大法师的概率。

卡组 $N = 40$，五个部件 $K = 5$，起手抽牌 $n = 5$，我们想知道抽到全部五张部件的概率，即 $k = 5$。