负二项分布和它的朋友（RNA表达量）

Mon, 01 Feb 2021 00:00:00 +0000

一个看似奇怪的事实

做RNAseq分析的时候，我们通常会说：表达量计数（read counts）服从负二项分布（Negative Binomial distribution，NB）。这个结论出现在几乎所有主流差异表达分析工具的文档里——DESeq2、edgeR、limma-voom——好像这是一个不言自明的前提。

但为什么？

我查过很多资料，大多数解释要么太浅（“因为数据过度离散，过dispersed”），要么直接跳到公式层面（“NB的概率质量函数是……"），要么扯到什么"等待时间"上去（“NB描述的是等待r次成功所需的试验次数”）——最后一种解释尤其让人困惑，因为RNAseq计数和"等待时间"八竿子打不着。

所以我想把这件事彻底说清楚。用一个最简单的例子，一步步推出为什么NB是自然的选择，而那个经典的等待时间定义，其实和我们的推导毫无关系。

从一个直观的例子说起

假设我们要研究某个基因在细胞A和细胞B中的表达量。

细胞内部发生了什么？ 一个基因要被转录，首先要有RNA聚合酶结合到启动子上，然后开始合成。聚合酶会随机地到达和离开启动子区域，所以转录本身是一个随机过程——在任何给定的时间窗口内，合成出的mRNA分子数是随机的。

如果我们把观察时间固定（比如观察一秒），转录产生的mRNA数量大致服从Poisson分布。理由是：mRNA的产生可以看作一系列独立的"成功"事件（一次转录起始），在一个固定时间窗口内，Poisson是描述这类计数过程的自然模型。

但问题来了——Poisson有一个很强的假设：均值等于方差。

对于单细胞来说，均值和方差的关系确实大致如此。但当我们比较一群细胞（比如组织样本中的上万个细胞）时，情况完全不同。即使是同一个基因，不同细胞的表达量也可能差异巨大——有些细胞可能完全不表达，有些高表达。这种细胞间的异质性（biological variability）会导致整个群体的方差远大于均值。

这就是所谓的"过度离散”（overdispersion）。Poisson处理不了这个问题。

Gamma-Poisson层级模型

解决之道来自一个层级思想。

我们先承认：不同细胞的真实表达率（$\lambda$）本身是不同的。这种差异可以用一个分布来描述。选什么分布？在统计中，Gamma分布是一个自然的选择——因为它数学上处理起来方便，而且足够灵活，可以描述各种形状的随机变量。

于是我们构建一个两层模型：

第一层（细胞间变异）： $\lambda \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)$

这里 $\lambda$ 代表每个细胞的真实表达率（单位时间内的mRNA平均产量）。$\alpha$ 和 $\beta$ 是Gamma分布的参数。均值 $\mu = \alpha/\beta$，方差 $= \alpha/\beta^2$。

第二层（细胞内随机性）： 给定 $\lambda$，计数 $X$ 服从Poisson分布：$X | \lambda \sim \text{Poisson}(\lambda)$

这一层描述的是：即使两个细胞有完全相同的 $\lambda$，由于转录过程本身的随机性，实际观察到的计数也会有波动。

现在，把 $\lambda$ 积掉（marginalize out），求 $X$ 的边缘分布：

$$P(X = k) = \int_0^\infty P(X=k|\lambda) \cdot P(\lambda) \, d\lambda$$

这个积分的结果是：

$$P(X = k) = \frac{\Gamma(k+\alpha)}{k! \cdot \Gamma(\alpha)} \left(\frac{\beta}{1+\beta}\right)^\alpha \left(\frac{1}{1+\beta}\right)^k$$

而这——恰好就是负二项分布的参数化形式。

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Gamma-Poisson层级模型