当混淆因素隐匿于幕后：因果关系的困与解
基本问题
所谓混淆因素，指的是与处理（treatment）及结果（outcome）皆有联系之变量。若不予控制，易致偏差，令我们所得结论非因果关系之实，乃混淆所致之假象。然而，倘若混淆因素不可观测（unobserved confounding），我们又该如何在未知中求解因果？
界限估计
当我们不能妄断“unconfoundedness”的条件成立，则需要借助弱假设，推导出因果效应的区间（interval）估计。这类方法一般依赖部分识别（partial identification）之思想，亦即在无法完全排除混淆时，通过宽泛但合理的假设，限定因果效应的可能范围。
如 Bounding methods 并不假设完全无混淆（unconfoundedness），而是假设混淆的影响在某特定范围内。借此，我们可以得出一个因果效应的上下界，而非唯一值之估计。这种思路可以在不严苛的假设之下，仍提供有意义的推断。
“The Law of Decreasing Credibility: the credibility of inference decreases with the strength of the assumptions maintained.”
No-Assumptions Bound
对二元（binary）之个体处理效应（ITE）而言，其最大值和最小值为
$$ -1 \leq Y_i(1)-Y_i(0) \leq 1 \qquad \text{if } \forall t,0 \leq Y(t) \leq 1 $$故平均处理效应（ATE）之区间长度也都在 $2$ 之内。
在无需任何假设的条件下，较之 ITE，ATE 的区间长度可减半，即 ATE 将落于长度为 $1$ 的区间内。
ASSUMPTION Bounder Potential Outcomes
$$ \forall t,a \leq Y(t) \leq b $$根据该假设，易得
$$ \begin{aligned} a-b \leq Y_i(1)-Y_i(0) \leq b-a \\\ a-b \leq \Bbb{E}[Y_i(1)-Y_i(0)] \leq b-a \end{aligned} $$ITE 的区间长度为 $(b-a)-(a-b)=2(b-a)$.
ATE 的区间长度可压缩一半 $(b-a)$。
Observational-Counterfactual Decomposition
首先，将 ATE 分解为
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)]&=\Bbb{E}[Y(1)]-\Bbb[Y(0)]\\\ &=\big(P(T=1)\Bbb{E}[Y(1)|T=1]+P(T=0)\Bbb{E}[Y(1)|T=0]\big) \\\ &\quad-\big(P(T=1)\Bbb{E}[Y(0)|T=1]+P(T=0)\Bbb{E}[Y(0)|T=0]\big) \end{aligned} $$其中，首末两项可以借由观测数据估计得到，故 $Y(t)=Y$。
用 $\pi \triangleq P(T=1)$，将 Observational-Counterfactual Decomposition 记作
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] &=\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y(1)|T=0]\\\ &\quad-\pi\Bbb{E}[Y(0)|T=1]-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0] \end{aligned} $$虽然 $\Bbb{E}[Y(1)|T=0]$ 和 $\Bbb{E}[Y(0)|T=1]$ 为反事实，但其取值仍介于 $a$ 和 $b$ 之间。
估计 ATE 的上界（upper bound）时，对 $+\Bbb{E}[Y(1)|T=0]$ 考虑其最大值 $+b$，对 $-\Bbb{E}[Y(0)|T=1]$ 考虑其最小值 $-a$；
估计 ATE 的下界（lower bound）时，对 $+\Bbb{E}[Y(1)|T=0]$ 考虑其最小值 $+a$，对 $-\Bbb{E}[Y(0)|T=1]$ 考虑其最大值 $-b$；
从而可以估计 ATE 的区间。
No-Assumptions Bound
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] \leq \pi\Bbb{E}[Y(1)|T=1] + (1-\pi) b - \pi a-(1-\pi)\Bbb{E}[Y(0)|T=0] \\\ \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] \geq \pi\Bbb{E}[Y(1)|T=1] + (1-\pi) a - \pi b-(1-\pi)\Bbb{E}[Y(0)|T=0] \end{aligned} $$通过 ATE 上下界之差，可以获得其区间长度 $b-a$。
然而，当 $0$ 位于对应的区间时，我们不能从因果效应的区间估计中辨析出不存在因果效应的情形。
单调性假设
单调性假设（Monotone Assumptions）是考虑某些影响方向单调的情形，或者在特定子集上假设因果效应一致性（比如只在某些特定人群中成立）。这些假设较之 unconfoundedness 宽松，然则能让我们在混淆因素部分未测量之情况下，仍得以进行因果效应的估计。
Nonnegative Monotone Treatment Response
非负单调性处理假设（Nonnegative Monotone Treatment Response）表示接受处理必定带来积极效果。
$$ \forall i \quad Y_i(1) \geq Y_i(0) $$故 ITE 非负，使区间的下界可从 $a-b$ 调整为 $0$。
据假设, 有
$$ \Bbb{E}[Y(1)|T=0] \geq \Bbb{E}[Y(0)|T=0] $$故对 $+\Bbb{E}[Y(1)|T=0]$ 考虑比它更小的 $+\Bbb{E}[Y|T=0]$；对 $-\Bbb{E}[Y(0)|T=1]$ 考虑比它更大的 $-\Bbb{E}[Y|T=1]$，可以估计 ATE 之下界
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] &=\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y(1)|T=0]\\\ &\quad-\pi\Bbb{E}[Y(0)|T=1]-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &\geq\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &\quad-\pi\Bbb{E}[Y|T=1]-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &=0 \end{aligned} $$Nonnegative MTR Lower Bound 为：$\Bbb{E}[Y(1)-Y(0)]\geq0$；
同理，Nonpositive MTR Upper Bound 为：$\Bbb{E}[Y(1)-Y(0)]\leq0$。
Monotone Treatment Selection
假设选择接受处理者，均得更好功效，即
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)|T=1] \geq \Bbb{E}[Y(1)|T=0] \\\ \Bbb{E}[Y(0)|T=1] \geq \Bbb{E}[Y(0)|T=0] \end{aligned} $$故对 $\Bbb{E}[Y(1)|T=0]$ 考虑比它更大的 $\Bbb{E}[Y(1)|T=1]$；对$-\Bbb{E}[Y(0)|T=1]$ 考虑比它更小的 $-\Bbb{E}[Y(0)|T=0]$，可以确定其上界。
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] &=\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y(1)|T=0]\\\ &\quad-\pi\Bbb{E}[Y(0)|T=1]-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0] \\\ &\leq\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=1]\\\ &\quad-\pi\Bbb{E}[Y|T=0]-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &=\Bbb{E}[Y|T=1]-\Bbb{E}[Y|T=0] \end{aligned} $$Monotone Treatment Selection Upper Bound 为：$\Bbb{E}[Y(1)-Y(0)]\leq\Bbb{E}[Y|T=1]-\Bbb{E}[Y|T=0]$
Optimal Treatment Selection
设，若个体皆接受最契合自身之处理
$$ T_i=1 \implies Y_i(1) \geq Y_i(0), \qquad T_i=0 \implies Y_i(0) \geq Y_I(1) $$易得
$$ \Bbb{E}[Y(1)|T=0] \leq \Bbb{E}[Y(0)|T=0] = \Bbb{E}[Y|T=0] $$再利用 No-Assumptions Bound 中对反事实 $-\Bbb{E}[Y(0)|T=1]$ 的处理，考虑其最小值 $-a$，从而确定 ATE 之上界为
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] &=\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y(1)|T=0]\\\ &\quad-\pi\Bbb{E}[Y(0)|T=1]-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &\leq\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &\quad-\pi a-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &=\pi\left(\Bbb{E}[Y|T=1]-a\right) \end{aligned} $$同理，有
$$ \Bbb{E}[Y(0)|T=1] \leq \Bbb{E}[Y(1)|T=1] = \Bbb{E}[Y|T=1] $$对反事实 $+\Bbb{E}[Y(1)|T=0]$ 考虑其最小值 $+a$，所以 ATE 的下界为
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] &=\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y(1)|T=0]\\\ &\quad-\pi\Bbb{E}[Y(0)|T=1]-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &\geq\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)a\\\ &\quad-\pi\Bbb{E}[Y|T=1]-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &=(1-\pi)\left(a-\Bbb{E}[Y|T=1]\right) \end{aligned} $$综合考虑，可以获得
Optimal Treatment Selection Bound 1
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] &\leq \pi\left(\Bbb{E}[Y|T=1]-a\right) \\\ \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] &\geq (1-\pi)\left(a-\Bbb{E}[Y|T=1]\right) \\\ \text{Interval Length}&=\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]-a \end{aligned} $$注意: OTS bound 1 之区间仍包含 $0$
$$ > \Bbb{E}[Y(1)|T=0]\leq\Bbb{E}[Y|T=1] > $$$$ \Bbb{E}[Y(1)|T=0]=\Bbb{E}[Y(1)|Y(0)>Y(1)] $$Manski (1990), ‘Nonparametric Bounds on Treatment Effects’
当我们对潜在结果 $Y(1)$ 求期望时，将 $Y(0)>Y(1)$ 翻转为 $Y(1) \leq Y(0)$，可以确定其上界，即
$$\Bbb{E}[Y(1)|Y(0) \leq Y(1)]=E[Y(1)|T=1]=\Bbb{E}[Y|T=1]$$从而获得 Manski 在论文中使用的假设。
对 $+\Bbb{E}[Y(1)|T=0]$ 考虑比它更大的 $+\Bbb{E}[Y|T=1]$；对 $\Bbb{E}[Y(0)|T=1]$ 考虑其最小值 $a$，从而确定 ATE 的上界
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)]&\leq\pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=1]\\\ &\quad-\pi a-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0]\\\ &=\Bbb{E}[Y|T=1]-\pi a-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0] \end{aligned} $$同理可以确定其下界
Optimal Treatment Selection Bound 2
$$ \begin{aligned} \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] &\leq \Bbb{E}[Y|T=1]-\pi a-(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=0] \\\ \Bbb{E}[Y(1)-Y(0)] &\geq \pi\Bbb{E}[Y|T=1]+(1-\pi)a-\Bbb{E}[Y|T=0] \\\ \text{Interval Length}&=(1-\pi)\Bbb{E}[Y|T=1]+\pi\Bbb{E}[Y|T=0]-a \end{aligned} $$注意: OTS Bound 2 之区间虽仍涵盖 $0$，然在某些情境下，可判定效应之方向。
- Different bounds are better in different cases.
- Different bounds can be better in different ways (e.g., identifying the sign vs. getting a smaller interval).
例如 Mixing Bounds，同时取用 OTS Bound 1 之上（或下）界，与 OTS Bound 2 之下（或上）界。如此种方法，虽较严苛假设下所得结论为宽泛，但亦可为实际研究中提供参考，特别是当完全排除混淆过于乐观之时。