因果图：结构性的因果关系表征
传统的因果推断（causal inference）多依赖于回归模型与假设检验，着重于处理数据中变量间的关联性，而忽视了因果关系的结构性。因果图模型的引入，则为我们提供了一种全新的视角，可谓因果推断领域的一大颠覆。
结构方程
相比传统回归分析的变量间关联，结构因果模型强调因果关系的显性表达，为我们提供了更多的信息。例如，$M$ 是一个结构因果模型（structural causal model），其中 $V={Z,X,Y}$ 是研究中所讨论因果关系的变量，称为内生变量（endogenous variables），$U={U_z.U_x,U_y}$ 是外生变量（exogenous variables），代表研究中没有被明确建模的扰动（disturbances）。
函数 $F={f_z,f_x.f_y}$ 称为结构方程（structural equations），每个函数表示对应的内生变量的数据生成机制，即对应的内生变量的值由其他变量的值所决定的因果过程。
$$ M=\begin{cases} Z \leftarrow f_z(U_z)\\ X \leftarrow f_x(Z,U_x)\\ Y \leftarrow f_y(X,Z,U_y)\\ U \sim P(U) \end{cases} $$$P(U)$ 表示外生变量相关联的概率分布，在本例中，假设外生变量是相互独立的。结构因果模型 $M$ 表示内生变量的联合分布 $P(V)$，称作观测分布（observational distribution）。
有向无环图
每一个结构因果模型 $M$ 有一个对应的因果图 $G$，直观地刻画了各个变量之间的因果关系，每个节点表示模型 $M$ 中的一个变量（Variables，$V$），图中每一条边都表示变量之间的因果效应，箭头 $V_i \to V_j$ 说明变量 $V_i$ 是变量 $V_j$ 的直接原因（$V_i$ 出现在 $V_j$ 的结构方程中），表现为一个有向无环图（directed acyclic graph, DAG）。
通常情况下，因果图不会将外生变量明确地表示出来。如果外生变量非独立，即同时存在结构方程 $f_{v_i}$ 和 $f_{v_j}$ 中时，可以用虚线的双向箭头 $V_i \dashleftarrow\dashrightarrow V_j$ 表示。
do 算子
关于因果关系的讨论中，Fisher 的随机化试验是实验性研究的黄金标准，而是否能够进行操纵（manipulability）被认为是讨论因果关系的先决条件，并形成了“无操纵不因果”（“no causation without manipulation”）的观念。
随机试验实际上是评估两种可比较的不同干预对结果变量的效果。干预是进行因果推断的关键，因为干预方式保证了潜在结果框架中一致性假设的成立。
原因 $X$ 对结果 $Y$ 的作用是否定义明确（well-defined），取决于我们操纵 $X=x$ 的方式是否对 $Y$ 造成影响。
在结构因果模型中，干预是对模型的数据生成机制进行修改。do算子用来表示使某个变量为常数的操纵（“holding a variable constant”），是一种假设性的干预（hypothetical intervention）。
在本例中，$do(X=x)$ 意味着将原本的机制 $X \leftarrow f_x(Z,U_x)$ 替换为 $X \leftarrow x$，因此结构因果模型 $M_x$ 为：
$$ M_x=\begin{cases} Z \leftarrow f_z(U_z)\\ X \leftarrow x\\ Y \leftarrow f_y(X,Z,U_y)\\ U \sim P(U) \end{cases} $$相当于在因果图上移除了指向节点 $X$ 的箭头。此时，模型 $M_x$ 表示内生变量的干预分布（interventional distribution），记为 $P(V|do(X=x)$。
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根据潜在结果框架中的定义，因果效应考虑了不同干预造成的可能发生的情况之间的差异，干预分布 $P(V|do(X=x)$ 与潜在结果具有相同的本质，故平均处理效应（average treatment effect，ATE）表示为：
$$ ATE_{(X)} = E[Y|do(X=x+1)] - E[Y|do(X=x)] $$因果路径和非因果路径
假设扰动 $U$ 为多元高斯分布，结构方程为线性方程，即
$$ \begin{aligned} Z &\leftarrow U_z\\ X &\leftarrow \lambda_{zx}Z\\ Y &\leftarrow \lambda_{xy}X + \lambda_{zy}Y + U_y\\ \end{aligned} $$，那么平均处理效应为 $ATE_{(X)}=\lambda_{xy}$。而 $Y$ 对 $X$ 的回归系数
$$ \beta_{yx}=\frac{Cov(Y,X)}{Var(X)}=\lambda_{xy}+\lambda_{zx}\lambda_{zy} $$，这是因为 $X$ 和 $Y$ 之间关联混合了因果路径（$X \to Y$）和非因果路径（$X \leftarrow Z \rightarrow Y$）。非因果路径从指向 $X$ 的边（“后门”）出发，经过混淆因素 $Z$ 到达结果变量 $Y$，称作后门路径（back-door path）。需要注意的是，对 $Z$ 进行调整后 $Y$ 对 $X$ 的回归系数（记作 $\beta_{yx,z}$）估计
$$ \beta_{yx,z}=\lambda_{xy} $$，即在本例中控制 $Z$ 有效地阻断了后门路径。
后门准则和调整公式
了解后门路径首先要认识因果图中三种主要的模式：
- 中介（Mediator），或称链式（chains）结构：如 $X \to Z \to Y$。控制中介 $Z$ 能够阻断 $X$ 和 $Y$ 之间的关联（association）
- 共因（Common causes），或称叉式（forks）结构，如 $X \leftarrow Z \rightarrow Y$。控制共因 $Z$ 能够阻断其作为混淆因素（confounder）引起的非因果（non-causal）相关性。
- 共同结果（Common effect），或称对撞（collider）结构，如 $X \rightarrow Z \leftarrow Y$ 表示 $X$ 和 $Y$ 产生相同的结果。这种形式的因果关系中，$X$ 和 $Y$ 之间不表现出关联，但控制 $Z$ 会导致 $X$ 和 $Y$ 产生非因果关联。
需要注意的是，控制一个变量的后代（descendant）相当于对该变量也进行了一定程度上的控制。
如果 $Z$ 阻断了 $X$ 和 $Y$ 之间的所有路径，可以说 $Z$ 有向分离（d-separates）了 $X$ 和 $Y$。有向分离（directed separation, d-separation）意味着若 $X$ 和 $Y$ 之间不存在直接关联， 给定 $Z$ 使 $X$ 和 $Y$ 条件独立。
因果图除了可以看作一种数据生成机制，也继承了贝叶斯网络表示变量之间的条件独立性（conditional independence）的特点——在给定一个节点的父节点时，该节点与其非后代之间相互独立，也称为局部马尔科夫假设（Local Markov Assumption）。
后门准则（bak-door criterion）规定了正确估计平均因果效应的调整集 $Z$ 需要满足的条件：
- 阻断 $X \to Y$ 的所有后门路径
- 没有（部分）阻断 $X \to Y$ 的因果路径，以及
- 没有（部分）打开其他后门路径
对于满足后门准则的集合 $Z={Z_1,\ldots,Z_k}$，可以根据干预分布计算期望
$$ E[Y|do(X=x)]=E_{Z}\left[E[Y|X=x,Z]\right] $$结语
结构因果模型是描述数据产生机制和外部干预的形式化语言，可以用来定义外部干预的因果作用，还能定性确定混杂因素，描述多个变量之间的因果关系。通过明确结构化的因果关系和混淆控制机制，我们能够更为清晰且准确地识别因果效应，规避传统方法中可能存在的偏误与误解。其为因果推断提供了更为坚实的理论基础，令人能够在复杂的现实数据中，找寻到潜藏的因果真理。