局部平均处理效应：精准刻画的智慧

局部平均处理效应（Local Average Treatment Effect, LATE）是解决工具变量（instrumental variables, IV）分析中“异质性”问题的重要概念，尤其在处理效应并非全体受试者均一致之时，LATE 能准确捕捉那些响应工具变量之人群的因果效应。其所估计者，并非总体平均处理效应，而是仅针对那些遵从工具变量之个体（即“遵从者”）的平均处理效应。

样本的分层

如果将医生的处方作为工具变量 $Z$，是否遵从处方服用药物为 $T$，则可以将样本分为“遵从者”（Compliers）与“非遵从者”（Defiers）组，并对这两组个体之潜在结果进行比较。

来表示对 $Z$ 进行干预时获得的处理 $T$，所有样本可以分为以下 4 种类型：

1. Compliers: $T(1)=1$ and $T(0)=0$
2. Always-takers: $T(1)=1$ and $T(0)=1$
3. Never-takers: $T(1)=0$ and $T(0)=0$
4. Defiers: $T(1)=0$ and $T(0)=1$

其中，遵从者与非遵从者是否接受处理完全取决于工具变量。

而 Always-takers 和 Never-takers 是否接受处理则与工具变量无关。例如，根据自己意愿，而不按处方用药者。

后者之因果图中不存在 $Z \to T$ 的边，故对 Always-takers 和 Never-takers 而言，$Z$ 对 $Y$ 之因果效应为 $0$。

根据是否被要求接受处理($Z=1 \quad \text{or} \quad Z=0$)，以及是否接受处理($T=1 \quad \text{or} \quad T=0$) 进行分层时，共有4种组合：

• $Z=0,T=0$. 符合 Compliers 或 Never-takers
• $Z=0,T=1$. 符合 Defiers 或 Always-takers
• $Z=1,T=0$. 符合 Defiers 或 Never-takers
• $Z=1,T=1$. 符合 Compliers 或 Always-takers

因此，我们无法确切断定某一个体究竟归属于何种类别。。

识别局部平均处理效应

局部平均处理效应（LATE）表示为：

根据单调性假设（Monotonicity Assumption），被要求接受处理的单元，接受处理的可能性更高（至少与不被要求接受处理的相同）

易发现，只有 Defiers 不满足单调性假设。换言之，上式相当于假设不存在 Defiers。

公式推导

首先，明确我们感兴趣的为处理 $T$ 对结局 $Y$ 之因果效应。

考虑工具变量 $Z$ 对 $Y$ 的因果效应，根据上节中的 4 种分层对其加权平均

于 Always-takers 和 Never-takers 而言，$Z$ 对 $Y$ 之因果效应为 $0$，所以上式化简成

若假设 Defiers 不存在（Monotonicity Assumption），即 $P\big(T(1)=0,T(1)=1\big)=0$，所以

那么，

等式左边 $Y(Z=1)$ 和 $Y(Z=0)$ 仅考虑 Compliers，故 $Y(Z=1)=Y(T=1)$ 且 $Y(Z=0)=Y(T=0)$，有

即 LATE 为工具变量 $Z$ 对 $Y$ 之因果效应与遵从者（Compliers）机率之比值，故又称为遵从者平均因果效应(Complier Average Causal Effect, CACE)。

工具变量 $Z$ 与结果 $Y$ 无后门路径(Instrumental unconfoundedness)，由期望之线性性质可得

此外，由于我们不能直接确定 Compliers，所以需要考虑

其中, $P(T=1|Z=0)$ 包括 Always-takers 和 Defiers，$P(T=0|Z=1)$ 包括 Never-takers 和 Defiers。

由于 Defiers 缺席之假设，$1-P(T=1|Z=0)-P(T=0|Z=1)$ 之中仅剩下 Compliers。可进一步推算出

Never-taker or Compliers - Never-taker or Defiers，

即 $P(T=0|Z=0)-P(T=0|Z=1)$，亦或是

Always-takers or Compliers - Always-takers or Defiers，

即 $P(T=1|Z=1)-P(T=1|Z=0)$

对于二元变量 $T$ 的条件期望，$P(T=1|Z=1)-P(T=1|Z=0) \implies \Bbb{E}[T|Z=1]-\Bbb{E}[T|Z=0]$，因此

易发现，等式右边与工具变量平均处理效应的估计等价。

但在 LATE 中，我们并未考虑个体同质化的假设，而是通过单调性假设来估计遵从者的平均处理效应。

处理异质性的理想对策

LATE 的妙处在于因人而异、精准刻画，在弱假设、处理异质性与实际应用中寻得平衡。其并非因果效应的全景，然则于局部领域中，能为我们提供精确、可信的推断。如此局部智慧，实乃因果推论之锦囊妙计。