囚徒困境是绝望的。
背叛是严格占优策略。所有动力学、所有演化、所有重复博弈的尽头，都是纯背叛。教科书这么写，实验室这么验证，我们看着，心里大概也是这么想的。
但雪堆博弈 Snowdrift Game 不一样。
这里没有绝路。
铲雪，还是不铲？
两辆车被雪堵住了。
这是经典故事。我第一次读到的时候，正在台北等一场永远不会来的雪。窗外只有雨，但脑子里全是那个场景：两个人，两把铲子，两个选择。
- 铲（合作 C）
- 不铲（偷懒 D）
规则很简单：只要有一个人铲，路就能通。铲雪的人付出成本。不铲的人——搭便车 free rider。
最舒服的局面：别人干活，我拿收益。
最坏的结局：两个人都等着，谁都走不了。
这和囚徒困境的绝望感不同。囚徒困境里，合作是傻子策略。这里不是。这里存在一种张力：合作和背叛都有各自的理由，取决于对方选了什么。
收益矩阵
设通路收益为 $b$，铲雪成本为 $c$，$b > c > 0$。
| 对方 C | 对方 D | |
|---|---|---|
| 我 C | $b - c/2$ | $b - c$ |
| 我 D | $b$ | $0$ |
简单解释：
双方合作——成本平摊，收益各得 $b - c/2$。
我背叛对方合作——我不干活，但享受通路，收益 $b$。对方独自承担成本，收益 $b - c$。
双方背叛——谁都不铲，困在原地，收益 $0$。
我合作对方背叛——我一个人干活，收益 $b - c$。通了，但代价全是我一个人扛。
不存在占优策略
这是关键。
看矩阵：
对方合作时，我选 C 得 $b-c/2$，选 D 得 $b$。$b > b - c/2$，背叛更香。
对方背叛时，我选 C 得 $b-c$，选 D 得 $0$。$b - c > 0$，合作更香。
策略取决于对方。不存在哪个策略在所有情况下都是最优的。
这和囚徒困境完全不同。囚徒困境里，背叛在任何情况下都是严格更好的选择。这里不是。这里是博弈，是真正的你来我往。
复制子动力学
设合作者比例为 $x$。
合作者收益：
$$\pi_C = x\left(b - \frac{c}{2}\right) + (1-x)(b - c)$$展开：
$$\begin{align*} \pi_C &= x \cdot \left(b - \frac{c}{2}\right) + (1-x) \cdot (b - c) \\ &= xb - \frac{xc}{2} + (1-x)b - (1-x)c \\ &= xb - \frac{xc}{2} + b - xb - c + xc \end{align*}$$合并同类项，$xb - xb = 0$，$-\frac{xc}{2} + xc = \frac{xc}{2}$：
$$\pi_C = b - c + \frac{c}{2}x$$背叛者收益：
$$\pi_D = x \cdot b + (1-x) \cdot 0 = bx$$复制子方程：
$$\frac{dx}{dt} = x(1-x)(\pi_C - \pi_D)$$代入，整理括号内：
$$\begin{align*} \frac{dx}{dt} &= x(1-x) \left[ \left(b - c + \frac{c}{2}x\right) - bx \right] \\ &= x(1-x) \left( b - c - x\left(b - \frac{c}{2}\right) \right) \end{align*}$$固定点
固定点，固定点 internal equilibrium。总算说到这个词了。
令 $\frac{dx}{dt} = 0$：
$$x(1-x) = 0 \quad \text{或} \quad b - c - x\left(b - \frac{c}{2}\right) = 0$$第一组：$x(1-x) = 0$
$x = 0$（全背叛）或 $x = 1$（全合作）。边界点。
第二组：
$$b - c - x\left(b - \frac{c}{2}\right) = 0$$$$x\left(b - \frac{c}{2}\right) = b - c$$$$x^* = \frac{b - c}{b - c/2}$$检查：$b > c > 0$，所以分子 $b - c > 0$，分母 $b - c/2 > b - c > 0$，得到：
$$0 < x^* < 1$$内部固定点。
这件事有意思
囚徒困境里，动力学只指向边界点：要么全合作，要么全背叛。现实世界里，全合作几乎不存在，所以最后只剩全背叛。单向道。没有回头路。
雪堆博弈出现了 $0 < x^* < 1$。
什么意思？
意思是，长期来看，合作者和背叛者的比例会稳定在一个中间值。总会有人干活，总会有人搭便车，比例大概就在 $x^*$ 附近晃荡。
我有时候想，这多像现实世界。
公司里，总有人加班，有人准点走。开源社区里，总有人 commit，有人 issue。朋友圈里，总有人买单，有人说下次我请。
比例稳定。不是说大家商量好了，而是动力学本身就把系统推向那里。
稳定性
看动力学方向：
当 $x < x^*$ 时，$b - c - x(b - c/2) > 0$，$\frac{dx}{dt} > 0$，合作者比例上升。
当 $x > x^*$ 时，$b - c - x(b - c/2) < 0$，$\frac{dx}{dt} < 0$，合作者比例下降。
系统会自动回到 $x^*$。
负反馈。
这是一个稳定器——如果合作者太少，合作变得有利；如果合作者太多，搭便车变得有利。系统自己找平衡。
纳什均衡
在 $x^*$ 处，$\pi_C = \pi_D$。
因为：
$$\pi_C - \pi_D = b - c - x^*\left(b - \frac{c}{2}\right) = 0$$收益相等。选择合作或背叛，结果一样。
没人有动力单独改变策略。
这就是混合纳什均衡：两种纯策略的收益相等，参与者随机选择，效果相同。
有意思的是，这个均衡是"混"出来的。不是谁设计的，不是道德感召的，是博弈动力学自然涌现的。
图景
囚徒困境：
$$0 \xleftarrow{} 1$$单向流动，所有人都滑向 $x = 0$。
雪堆博弈：
$$0 \xleftarrow{} x^* \xrightarrow{} 1$$两边的人，都被拉向内部点 $x^*$。
一个有趣的负反馈：
- 合作者太少 → 合作变有利（对方背叛时合作收益 $b-c > 0$）
- 合作者太多 → 背叛变有利（对方合作时背叛收益 $b > b-c/2$）
生态学里，这种机制有个名字——频率依赖选择 frequency-dependent selection。策略的收益取决于它在种群中的频率，而不是固定的环境参数。
这在自然界很常见。
对比
| 特征 | 囚徒困境 | 雪堆博弈 |
|---|---|---|
| 占优策略 | 有（背叛） | 无 |
| 内部固定点 | 无 | 有 |
| 长期稳定 | 全背叛 | 混合比例 |
| 动力学方向 | 单向 | 双向 |
| 均衡类型 | 纯策略 | 混合策略 |
囚徒困境是单向的，几乎没有平衡机制。雪堆博弈有负反馈，自动维持平衡。
一个有意思的推论：如果现实世界里合作现象比囚徒困境预测的更多，也许是因为很多"合作困境"实际上是雪堆博弈，而不是囚徒困境。
当然，现实往往比两种模型都复杂。
下篇文章会讨论：当加入随机性后，这个"平衡"会变成什么样子？