前一篇文章证明了在两组比较中 $t^2 = F$，t检验、ANOVA、回归三者等价。
现在从两组推广到多组。单因素ANOVA有 $k$ 个处理组（$k \ge 2$），想知道各组均值是否有差异。传统做法：算组间平方和、组内平方和、F统计量，查表做结论。
回归视角：把 $k$ 个组编码为 $k-1$ 个虚拟变量，做多元线性回归，然后做整体F检验。
从两组到多组：问题在哪？
两组时，一个虚拟变量就够了——$X=0$ 表示A组，$X=1$ 表示B组。多组时，你不能用一个变量编码"A、B、C"三种取值（因为 C 和 A 的差距不一定刚好是 B 和 A 的两倍，假设线性的数值关系毫无道理）。
解决方案：用 $k-1$ 个虚拟变量。
以三组为例。设对照组为A组，构造两个虚拟变量：
$$ X_{B} = \begin{cases} 1, & \rm{B组} \\ 0, & \rm{其他} \end{cases} \quad X_{C} = \begin{cases} 1, & \rm{C组} \\ 0, & \rm{其他} \end{cases} $$A组对应 $(X_B, X_C) = (0, 0)$，作为参照组（reference group）。回归模型：
$$ Y = \beta_0 + \beta_B X_B + \beta_C X_C + \varepsilon $$OLS估计结果：
- $\hat\beta_0 = \bar{Y}_{\rm A}$，参照组均值
- $\hat\beta_B = \bar{Y}_{\rm B} - \bar{Y}_{\rm A}$，B组相对于A组的效应
- $\hat\beta_C = \bar{Y}_{\rm C} - \bar{Y}_{\rm A}$，C组相对于A组的效应
ANOVA的F检验 = 回归的整体F检验
ANOVA的零假设是"所有组均值相等"：
$$ H_0: \mu_{\rm A} = \mu_{\rm B} = \mu_{\rm C} $$在回归语言里，这等价于：
$$ H_0: \beta_B = \beta_C = 0 $$即"所有虚拟变量的系数同时为零"。这恰好是回归的整体F检验（overall F-test）要检验的假设。
ANOVA计算：
$$ F = \frac{SS_{\rm between} / (k - 1)}{SS_{\rm within} / (N - k)} $$回归的整体F检验计算：
$$ F = \frac{(TSS - RSS) / (k - 1)}{RSS / (N - k)} $$其中 $TSS$ 是总平方和（仅截距模型的残差平方和），$RSS$ 是全模型的残差平方和。可以证明：$TSS - RSS = SS_{\rm between}$，$RSS = SS_{\rm within}$。
所以F统计量完全相等。
一个三组的数值验证
三组数据：
- A组：$[3.0, 3.5, 3.2, 3.8]$
- B组：$[5.0, 5.5, 5.3, 4.8]$
- C组：$[7.0, 7.2, 6.8, 7.5]$
用 R 做单因素 ANOVA：
A <- c(3.0, 3.5, 3.2, 3.8)
B <- c(5.0, 5.5, 5.3, 4.8)
C <- c(7.0, 7.2, 6.8, 7.5)
Y <- c(A, B, C)
group <- factor(rep(c("A", "B", "C"), each = 4))
summary(aov(Y ~ group))
用 R 做回归：
summary(lm(Y ~ group))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
group 2 28.152 14.076 137 1.83e-07 ***
Residuals 9 0.925 0.103
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
---
Call:
lm(formula = Y ~ group)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.3750 -0.2125 -0.0250 0.2000 0.4250
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 3.3750 0.1603 21.05 5.77e-09 ***
groupB 1.7750 0.2267 7.83 2.63e-05 ***
groupC 3.7500 0.2267 16.54 4.81e-08 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.3206 on 9 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9682, Adjusted R-squared: 0.9611
F-statistic: 137 on 2 and 9 DF, p-value: 1.827e-07
回归输出的 F-statistic 和 ANOVA 表的 F 值完全一致。
参照组的选择
你可能会问：为什么选A组作为参照组？选B组或C组行不行？
都可以。回归系数会随之变化（$\beta_B$ 变成"B相对于新的参照组"），但整体F检验的结果不变。因为不管参照组是谁，模型拟合的 $\hat{Y}$ 是一样的——每个组的预测值仍然等于该组的样本均值。F检验只关心"加入虚拟变量之后模型是否有显著改进"，不关心单个系数的含义。
这就是ANOVA的妙处：它只问"组间有没有差异"，不问你"谁比谁高多少"。回归框架完美复现了这一逻辑。
虚拟变量的矩阵形式
更一般地，$k$ 组需要 $k-1$ 个虚拟变量。回归的设计矩阵（design matrix）长这样：
$$ X = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \end{bmatrix} $$第一列全是 $1$（截距），后面 $k-1$ 列分别标识第 $2, 3, \ldots, k$ 组的成员。模型就是 $Y = X\beta + \varepsilon$。
OLS的正规方程 $(X'X)\hat\beta = X'Y$ 解出来，每个系数恰好是"该组均值减参照组均值"。
回归的t检验告诉你什么？
回归不仅给你整体F检验，还给每个系数的t检验。这比ANOVA多出来的信息是：你可以看具体哪一组和参照组有显著差异。
但要注意，这些t检验没有做多重比较校正。如果你想做所有两两比较（pairwise comparisons），ANOVA框架下有 Tukey HSD、Bonferroni 等方法，回归框架下也可以手动实现。本质上还是同一个东西——你只是在用不同的接口调同一个模型。
一个有意思的视角
学ANOVA的时候，教科书通常会讲"总变异 = 组间变异 + 组内变异"的平方和分解。这个分解在回归里叫"方差分析表"（ANOVA table）——注意到没？回归的输出里本身就有一个叫"ANOVA"的表。
不是巧合。是同一个东西的两个名字。
基础统计里有很多这样的"同一事物不同名字"：t检验的 pooled 方差就是回归的 MSE，组间平方和就是回归平方和，组内平方和就是残差平方和。学通了之后回头看，会觉得教科书故意把简单的事情拆散来讲。
拆散也有拆散的好处——每个概念独立讲，初学者不容易混淆。但代价是你看不到全貌。这个系列的目的，就是把拼图重新拼回去。