§最优化和线性化

• 最优化（optimization）
• 线性近似（linearization）
• 估算函数的零点
• 牛顿法（Newton’s method）

13.1 最优化

1. Identify all the variables you might possibly need. One of them should be the quantity you want to maximize or minimize - make sure you know which one! Let’s call it $Q$ for now, although of course it might be another letter like $P$, $m$, or $\alpha$.
2. Get a feel for the extremes of the situation, seeing how far you can push your variables. (For example, in the problem from the previous section, we saw that $x$ had to be between $2$ and $8$.)
3. Write down equations relating the variables. One of them should be an equation for $Q$.
4. Try to make $Q$ a function of only one variable, using all your equations to eliminate the other variables.
5. Differentiate $Q$ with respect to that variable, then find the critical points; remember, these occur where the derivative is $0$ or the derivative doesn’t exist.
6. Find the values of $Q$ at all the critical points and at the endpoints. Pick out the maximum and minimum values. As a verification, use a table of signs or the sign of the second derivative to classify the critical points.
7. Write out a summary of what you’ve found, identifying the variables in words rather than symbols (wherever possible).

1. 考虑所有可能需要的变量
2. 确认极端变量的可能
3. 写出不同变量的方程
4. 构建单变量函数
5. 求导，计算临界点
6. 计算临界点及端点的函数值，使用一阶或二阶导数判断最大值和最小值
7. 结论

注意：构建单变量函数时，有时候可以通过隐函数求导

13.2 线性化

13.2.1 一般的线性化

通过切线方程计算近似值：

The linear function $L$ is called the linearization of f at $x = a$.

13.2.2 微分

The quantity $df$ is called the differential of $f$ at $x = a$.

13.2.3 线性近似

13.2.4 误差

So, set $r(x) = f(x) - L(x)$; where $r(x)$ is the error in using the linearization at $x = a$ in order to estimate $f(x)$.

根据中值定理，对介于 $x$ 和 $a$ 之间的 $c$，存在

if $f''$ is positive between $a$ and $x$, then using the linearization leads to an underestimate; if $f''$ is negative between $a$ and $x$, then using the linearization leads to an overestimate.

通过二阶导数的符号可以判断线性近似的相对大小

若二阶导数 $f''$ 存在最大值 $M$，那么

误差大小与 $x$ 和 $a$ 的相对大小有关

13.3 牛顿法

假设 $a$ 是 $f(x) = 0$ 的一个近似解，若 $b = a - {f(a) \over f'(a)}$，那么 $b$ 在很多情况下是一个更优的近似解

每次使用牛顿法，可以获得一个更优的近似解

注意：牛顿法不适用的情况

1. $f'(a)$ 的值接近于 $0$：切线平缓，使 $x$ 轴截距与近似解 $a$ 距离较远
2. 如果 $f(x)=0$ 有多个解，可能无法得到想要的近似解（使用牛顿法时，最好保证区间内只有一个零点）
3. 近似值可能越来越糟糕。如对函数 $f(x)=x^{1/3}$ 使用牛顿法估算近似的零点，$b = a-{f(a) \over f'(a)} = -2a$。只有取 $a=0$ （正确的零点）时估算正确，否则近似值离正确值越来越远
4. 陷入循环：在 $x=a$ 处的线性化有 $x$ 轴截距 $x=b$，在 $x=b$ 处的线性化有 $x$ 轴截距 $x=a$

§洛必达法则

• 洛必达法则（L’Hopital’s Rule）及在 4 种极限类型的应用
• 计算极限

14.1 洛必达法则

极限的 4 种情况

• $\lim\limits_{x\to a}{f(x) \over g(x)}$

• $\lim\limits_{x\to a}(f(x) - g(x))$

• $\lim\limits_{x\to a}{f(x)g(x)}$

• $\lim\limits_{x\to a}{f(x)}^{g(x)}$

类型 A1：$0/0$ 型

$\lim\limits_{x\to a}{f(x) \over g(x)}$ 中，函数 $f$ 和 $g$ 可微

当 $g(a) \neq 0$ 时，可以直接使用代入法计算极限（分母不为 $0$）；

当 $g(a) = 0$，$f(a) \neq 0$时，$x = a$ 处存在垂直渐近线：极限为 $\infty$ 或 $-\infty$，或者 DNE；

当 $f(a) = 0$ 和 $g(a) = 0$ 时（不定式型），

In fact, every derivative is of this form

在 $x=a$ 处函数可以通过线性化估算函数值（假设此处为两个函数的零点）

$\implies f(x) \cong f'(a)(x-a)$ 和 $g(x) \cong g'(a)(x-a)$

假设 $x \neq a$，两式相除

$\implies {f(x) \over g(x)} \cong \frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)}={f'(a) \over g'(a)}$

洛必达法则（1）：如果 $f(a) = 0$ 和 $g(a) = 0$，那么 $\lim\limits_{x\to a}{f(x) \over g(x)}=\lim\limits_{x\to a}{f'(x) \over g'(x)}$

注意：$x$ 趋近于，但不等于 $a$ 时，$g'(x)$ 不为 $0$

类型 A2：$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ 型

$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \infty$ 和 $\lim\limits_{x \to a}g(x) = \infty$

如，$\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{csc(x)}{1-\ln x} = \infty$

注意：当 $x \to \infty$ 时，分式满足不定式时，洛必达法则也适用

多次使用洛必达法则，使$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x}$ 的分子为常数，易证 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x}=0$

类型 A 使用洛必达法则时，不要使用商的求导法则（Don’t use the quotient rule）

类型 B1：$\infty - \infty$

$(\infty - \infty)$ 的极限：仅当通过通分或同时乘上除以一个共轭表达式，转化为 $0/0$ 或 $\infty / \infty$ 的分式型（类型 A）不定式时，洛必达法则适用

类型 B2：$0\times\pm\infty$

$(0 - \infty)$ 的极限：通过把某一项移动到分母，处理分母使极限转化为类型 A

如，$\lim\limits_{x \to 0^+}x \ln x = \lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/x}$

注意：应选择合适的因子移动到分母，否则可能出现更复杂的极限

类型 C：$1^{\pm\infty}$, $0^0$ 或 $\infty^0$

对数函数求导法则的应用（见9.5）

$0^0$ 的极限：如$\lim\limits_{x \to 0^+}x^{\ln (x)}$，先取对数再转化为类型 B 或 A，最后对两边同时求指数

if you have any limit involving exponentials, you can always use the above logarithmic method to convert everything to a product or quotient, then work out the new limit $L$. The actual limit will just be $e^L$. The only exceptions are that if $L = \infty$, then you have to interpret $e^{\infty}$ as $\infty$; and if $L = -\infty$, then you need to recognize $e^{-\infty}$ as $0$.

注意：任何指数型函数（指数和底数都含有变量），使用过取对数方法转化为新的极限问题时，只有当新极限为 $\infty$ 时，需要考虑 $\lim\limits_{x\to +\infty}e^x=\infty$ 和 $\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$

14.2 极限的总结

$\lim\limits_{x \to a}F(x)$

where $F$ is a function which is at least continuous for $x$ near $a$, but maybe not at $x = a$ itself. Also, a could be $\infty$ or $-\infty$.

注意：函数上 $x$ 在 $a$ 附近连续（即使 $x=a$ 不存在）

• 首先尝试使用替代法
• $b/\infty$ 或 $b/-\infty$，极限为 $0$
• $b/0$ ，函数有垂直渐近线， 极限为 $\infty$ 或 $-\infty$，双侧极限可能不存在
• $0/0$ 的不定式，可能为导数定义的形式，也可以用洛必达法则
• 极限有根号，考虑分母有理化或者分子有理化（乘上共轭表达式）
• 函数有绝对值，去掉绝对值符号使其转化为分段函数
• 利用不同函数的特性

（一）多项式型函数：最高次项

（二）三角函数和反三角函数

1. 结合图像
2. 当 $A$ 很小，$\sin(x)$ 和 $\tan(x)$ 和 $A$ 有相近的值（可以乘上或者除以 $A$，见7.1.2）
3. $|\sin(anything) \leq 1|$ 和 $|\cos(anything) \leq 1|$
4. $\lim\limits_{x \to \infty}\tan^{-1}(x) = {\pi}/2$ 和 $\lim\limits_{x \to -\infty}\tan^{-1}(x) = -{\pi}/2$

（三）指数函数

1. $\lim\limits_{h \to 0}(1+hx)^{1/h} = \lim\limits_{x \to \infty}(1+{x \over n})^n = e^x$
2. 求极限时，$e^{small} = 1$
3. $\lim\limits_{x \to \infty}{poly \over e^x} = 0$

（四）对数函数

1. $\lim\limits_{x \to 0+}x^a \ln (x) = 0 , a>0$
2. $\lim\limits_{x \to \infty}{\ln(x) \over poly} = 0$
3. $\ln(1)=0$