当研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间内的分布状态时, 数学上只需用一个代数量来描绘, 这些代数量 (即标量函数)所定出的场就称为标量场. 最常用的标量场有温度场, 电势场, 密度场, 浓度场等等.
向量场(Vector Field, 矢量场)是由一个向量对应另一个向量的函数. 向量场广泛应用于物理学, 尤其是电磁场.
建立坐标系(x,y,z). 空间中每一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 都可以用由原点指向该点的向量表示. 因此, 如果空间在所有点对应一个唯一的向量 $(a,b,c)$, 那么时空中存在向量场 $F:(x_0,y_0,z_0)\to(a,b,c)$
在二维平面上的每个点都对应一个向量, 可以如下表示: $$ \vec{F}=M\vec{i}+N\vec{j} $$ 其中 $i$ 和 $j$ 是单位向量, $M$ 和 $N$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数, 也就是平面向量场中的所有向量都取决于 $x$ 和 $y$. 故 $\vec F$ 还可以表示为 $\lang M,N \rang$
在物理学中常见的还有水流场和引力场. 在流体中, 每一点都有速度和力量, 在地球上, 所有物体都受到重力的约束, 共同组成重力场, 宇宙中, 行星之间相互吸引或排斥, 形成引力场.
线积分 (Line Integral)
在数学中, 线积分的积分函数的取值沿的不是区间, 而是特定的曲线, 称为积分路径.
在物理学上, 线积分是质点在外力作用下运动一段距离后总功.
在物理学上, 力所做的功等于力与位移的乘积, 更严格地说, 力在足够小的距离上做的功等于力的向量与位移向量的点积: $$ W=\vec{F} \cdot \vec{\Delta r} $$ 功描述是需要多少能量才能使质点以这样的方式运动.
如果外力不是恒力, 要算出外力所做的总功, 就是把运动轨迹分成无限小段, 然后把外力对每一小段所做的功 (也就是力的向量和距离的向量的点积)加起来: $$ W=\lim {\Delta r{i} \rightarrow 0} \sum_{i} \vec{F} \cdot \vec{\Delta r_{i}}=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} $$ 由于不方便对向量的积分进行计算, 故将位移变成瞬时速度和微小时间的乘积: $$ \Delta\vec{r}=\vec{v}\Delta{t}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}{\Delta t} $$ 这表示在每个微小的时间段内, 质点移动了微小的距离. $W$ 可以解释为从 $t_1$ 到 $t_2$ 时间内, 质点在外力的作用下移动了一段距离, 在这段距离上力所做的总功: $$ W=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F} \cdot\left(\frac{d \vec{r}}{d t} d t\right)=\lim {\Delta t{i} \rightarrow 0} \sum_{i} \vec{F} \cdot\left(\frac{\vec{\Delta r}}{\Delta t_{i}} \vec{\Delta t_{i}}\right) $$
向量场中的线积分
已知外力和外力作用下的运动轨迹, 逆时针匀速转动的向量场 $\vec F= -y\vec i + x\vec j$, 运动轨迹 $C:x = t, y = t^2, \quad 0 ≤ t ≤ 1$, 计算力在该轨迹上做的功.
在这里, $\vec F$ 是外力, $C$ 是在 $\vec F$ 作用下的运动轨迹, 由运动轨迹的参数方程可知, $y = x^2$, 这相当于在外力 $\vec F$ 的作用下运行了一段抛物线, 故 $\vec F$ 在 $C$ 上做的总功为: $$ W=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\int_{0}^{1} \vec{F} \cdot\left(\frac{d \vec{r}}{d t} d t\right) $$ 其中 $\vec{F}=\langle -y,x \rangle=\langle -t^2,t \rangle$, $\frac{d \vec r}{d t}=\langle \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt} \rangle=\langle 1,2t \rangle$, $$ \begin{aligned} W&=\int_0^1\langle -t^2,t \rangle \cdot \langle 1,2t \rangle dt\ &=\int_0^1 t^2 dt = \frac{t^3}{3}\Bigg|_0^1 = \frac{1}{3} \end{aligned} $$ 或者 $\vec{F}=\langle -y,x \rangle$, $d \vec r=\langle dx,dy \rangle$, $$ \int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_c \langle -y,x \rangle \cdot \langle dx,dy \rangle = \int_C (-ydx+xdy) $$ 对 $x$ 和 $y$ 参数化, $$ \int_C (-ydx+xdy) = \int_0^1(-t^2dt+2t^2dt) $$ 线积分只取决于质点的运动轨迹 $C$, 而不是如何参数化.
几何法计算线积分
已知 $\Delta\vec{r}$ 是外力 $\vec F$ 作用下的微小位移, 与轨迹相切; 令 $\vec T$ 为 $\Delta\vec{r}$ 方向上的单位向量, $\Delta{S}$ 为轨迹上对应的弧长 (标量) $$ \Delta\vec r \approx \vec T \Delta S \implies d \vec r = \langle d x, d y \rangle = \vec T d s $$ 瞬时速度 $v=\frac{d\vec r}{dt}=\lang\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\rang$, 根据上式, 有 $\frac{d\vec r}{dt}=\vec T\frac{ds}{dt}$ $$ \int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_c \langle M,N \rangle \cdot \langle dx,dy \rangle = \int_C \vec F \cdot \vec T d s $$ 其中, $\vec F$ 和 $\vec T$ 的点积是标量.
质点在力场 $\vec F$ 中沿以原点为圆心, $a$ 为半径的圆做逆时针圆周运动
- 若 $\vec F=x\vec i + y\vec j$ , 对于圆上的任一点, 都存在 $\vec T \perp \vec F$, 此时 $\vec F \cdot \vec T = 0$
- 若 $\vec F=-y\vec i + x\vec j$ , 对于圆上的任一点, 都存在 $\vec F \parallel \vec T$, 此时 $\vec F \cdot \vec T = |\vec F| = a$
保守场(Conservative Vector Fields)
场论包括多种形式, 比如简单的向量场, 而梯度场(Gradient Field)则是由数量场所得到的矢量场, 它的定义与坐标系的选择无关.
梯度场在微积分以及算子的定义方面起着重要的作用. 梯度场在物理学中也称为保守场(Conservative Vector Field), 这来源于能量守恒定律。
梯度场和势函数
$f(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数, 若存在向量场 $\vec F=\grad{f}$, 则称 $\vec F$ 为梯度场, $f$ 为梯度场 $\vec F$ 的势函数(Potential Function). $$ \begin{aligned} \vec{F}=M\vec{i}+N\vec{j}=\grad{f}=\lang{f_x,f_y}\rang &\implies M=f_x \quad N=f_y\ f_{xy}=f_{yx} &\implies M_y=N_x \end{aligned} $$ 对于一个在平面内处处有定义且处处可导的向量场 $\vec F$, 如果存在$M_y = N_x$, 那么这个向量场是梯度场.
线积分基本定理
微积分的基本定理: $$ \int_a^b{F’(x)}\mathrm{d}x=F(b)-F(a) $$ 同样地, 线积分的基本定理指的是, 如果 $\vec F=\grad f$ 是一个梯度场, $C$ 是端点为 $P_0=(x_0,y_0)$ 和 $P_1=(x_1,y_1)$ 的曲线, 那么 $$ \int_C\vec F \cdot \mathrm d \vec r = f(x_1,y_1)-f(x_0,x_0) $$
证明
假设 $C$ 为质点一定时间 $t$ 之间行动的轨迹, $x$ 和 $y$ 是关于时间 $t$ 的函数 $$ x=x(t), \quad y=y(t), \quad t_{0} \leq t \leq t_{1} $$ $x$ 和 $y$ 分别对 $t$ 微分得 $$ d x=x^{\prime}(t) d t=\frac{d x}{d t} d t, \quad d y=y^{\prime}(t) d t=\frac{d y}{d t} d t $$ 由梯度的定义 $\grad f=\lang f_x,f_y \rang$, $d\vec r=\lang dx,dy \rang$, 线积分为 $$ \int_{C} \nabla f \cdot d \vec{r}=\int_{C}\left(f_{x} d x+f_{y} d y\right)=\int_{C}\left(f_{x} \frac{d x}{d t}+f_{y} \frac{d y}{d t}\right) d t $$ 根据链式法则 $\frac{d f}{d t}=f_{x} \frac{d x}{d t}+f_{y} \frac{d y}{d t}$, 所以 $$ \int_{C}\left(f_{x} \frac{d x}{d t}+f_{y} \frac{d y}{d t}\right) d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \frac{d f}{d t} d t=f\left(x(t), y(t)\right)\Big|{t{0}} ^{t_{1}}=f\left(P_{1}\right)-f\left(P_{0}\right) $$
独立路径(Independent Path)
线积分的基本定理告诉我们, 线积分只与运动轨迹的起始位置有关
闭合的独立路径
在保守场中, 如果 $C$ 是闭合曲线(closed curve), 那么沿 $C$ 所做的功是 $W=\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=0$. $$ \oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=0 $$ 在一个向量场中, 沿着闭合曲线做功为 $0$ 时, 并不足说明向量场是保守场, 必需强调是任意闭合曲线.
例: 线积分求势函数
$\vec{F}=\left(4 x^{2}+8 x y\right) \vec{i}+\left(3 y^{2}+4 x^{2}\right) \vec{j}$
On $C_1$, $y=0, d y=0,0 \leq x \leq x_{1}$ $$ \int_{C_{1}} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\int_{C_{1}}\left\langle 4 x^{2}+8 x y, 3 y^{2}+4 x^{2}\right\rangle \cdot\langle d x, d y\rangle=\int_{0}^{x_{1}} 4 x^{2} d x=\frac{4}{3} x_{1}^{3} $$ On $C_2$, $x=x_{1}, d x=0,0 \leq y \leq y_{1}$ $$ \begin{aligned} \int_{C_{2}} \vec{F} \cdot d \vec{r} &=\int_{C_{2}}\left\langle 4 x^{2}+8 x y, 3 y^{2}+4 x^{2}\right\rangle \cdot\langle d x, d y\rangle \ &=\int_{0}^{y_{1}}\left(3 y^{2}+4 x_{1}^{2}\right) d y \ &=y_{1}^{3}+4 x_{1}^{2} y_{1} \end{aligned} $$ 根据 $\int_C\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=\int_{C_1}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}+\int_{C_2}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$, 有 $$ \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=\frac{4}{3} x_{1}^{3}+y_{1}^{3}+4 x_{1}^{2} y_{1} $$ 由线积分基本定理 $$ \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}=f(\text{end})-f(\text{start})=f\left(x_{1}, y_{1}\right)-f(0,0) $$ 其中 $f(0,0)$ 是常数, 所以去除下标后得保守场 $\vec F$ 的势函数 $$ f(x, y)=\frac{4}{3} x^{3}+y^{3}+4 x^{2} y+C $$
例: 不定积分求势函数
已知势函数满足 $$ \left{\begin{array}{l}{f_{x}=4 x^{2}+8 x y} \{f_{y}=3 y^{2}+4 x^{2}}\end{array}\right. $$
假设 $y$ 为常数, 对 $x$ 积分得 $$ f=\int\left(4 x^{2}+8 x y\right) d x=\frac{4}{3} x^{3}+4 x^{2} y+g(y) $$ 由于 $\frac{\part f}{\part x}=f_x$ 是偏导数, 故用 $g(y)$ 代替常数 $C$ $$ \begin{aligned} {f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{4}{3} x^{3}+4 x^{2} y+g(y)\right)=4 x^{2}+g^{\prime}(y)=3 y^{2}+4 x^{2}} \ {\Rightarrow g^{\prime}(y)=3 y^{2}} \ \Rightarrow g(y)=\int 3 y^{2} d y=y^{3}+C \ \Rightarrow f(x, y)=\frac{4}{3} x^{3}+4 x^{2} y+g(y)=\frac{4}{3} x^{3}+4 x^{2} y++y^{3}+C \end{aligned} $$