梯度场 $\vec F=M\vec{i}+N\vec{j}=\grad{f}$, 其中 $f(x,y)$ 是关于 $x$ 和 $y$ 的函数.
若一个在平面内处处可导的向量场 $\vec F$ 有$M_y = N_x$, 则这个向量场是梯度场.
旋度(Curl)
旋度描述场向量旋转的部分, 表示某一点上扭转程度的大小. $$ \operatorname{curl}(\vec F)=N_x-M_y $$ 在梯度场(保守场)中, 旋度为 $0$. $$ \vec F=\grad{f} \implies \operatorname{curl}(\vec F)=0 $$
For example, if the swirl of the airflow or water flow is $0$, it means there is no eddy current. Such that $\vec F = x\vec i + y\vec j$.
In complex motion, some points may rotate more than others, and the curl is not constant at this time, it depends on the position of the point, that is, the values of $x$ and $y$. In the weather map, the high rotation may be a typhoon or a tornado: $\vec F = -y\vec i + x\vec j$, $curl(\vec F)=1-(-1)=2$.
在力场中, 旋度衡量任意一点所受的力矩(torque).
格林公式(Green’s Theorem)
在向量场中有一条闭合曲线 $C$, 其围成的区域为 $R$.
在处处可导的向量场 $\vec F=M\vec i+N\vec j$ 中, 对逆时针方向的闭合曲线 $C$ 求线积分等价于在其围成的区域 $R$ 上对 $\vec F$ 的旋度求二重积分 $$ \begin{aligned} \oint_C\vec F d\vec r &= \iint_R curl(\vec F) dA \ \oint_C (Mdx+Ndy) &= \iint_R (N_x - M_y) dA \end{aligned} $$ 注意: 若轨迹的方向为顺时针, 则需要调整等式右边的表达式为 $\iint_R(M_y-N_x)\mathrm dA$
从上一节中我们知道, 若向量场为保守场, $C$ 的线积分为 $0$.
格林公式可以避免复杂的线积分计算.
证明
假设 $\vec F=M\vec i$, 即 $N=0$, 有 $$ \oint_C M dx = \iint_R -M_y dA \tag{1} $$ 若上式成立, 同理 $$ \oint_C N dx = \iint_R N_x dA $$ 将 $C$ 围成的闭合区域分成 $C1$ 和 $C2$, 且均为逆时针方向. (注意: 分界线上 $C1$ he $C2$ 方向相反, 所以二者抵消) $$ \oint_C M dx = \oint_{C_1}Mdx+\oint_{C_2}Mdx $$ 如果等式(1)成立, 则 $$ \begin{aligned} \oint_C M dx &= - \iint_{R_1}M_ydA - \iint_{R_2}M_ydA \ &= - \iint_{R}M_ydA \end{aligned} $$ 由此推断, 曲线的线积分等于所有小区域的二重积分之和. 对于简单的小区域，可以划分成无数个逆时针围成的矩形.
假设 $C_1,C_2,C_3,C_4$ 为矩形的边, 其中上下底边 $C_2=f_1(x),c_4=f_2(x)$,
$C_1$ 和 $C_3$ 与 $x$ 轴垂直, 即对 $C_1$ 和 $C_3$ , $dx=0$. 等式左边为: $$ \begin{aligned} \oint_{C} M d x &=\int_{C_{1}} M d x+\int_{C_{2}} M d x+\int_{C_{3}} M d x+\int_{C_{4}} M d x \ &=\int_{C_{2}} M d x+\int_{C_{4}} M d x \ &=\int_{b}^{a} M(x, f_1(x)) d x+\int_{a}^{b} M(x, f_2(x)) d x \ &=-\int_{a}^{b} M(x, f_1(x)) d x+\int_{a}^{b} M(x, f_2(x)) d x \end{aligned} $$ , 等式右边: $$ \begin{aligned} \iint_{R}-M_{y} d A &=-\int_{a}^{b} \int_{f_2(x)}^{f_1(x)} \frac{\partial M}{\partial y} d y d x \ &=-\int_{a}^{b}(M(x, f_1(x))-M(x, f_2(x))) d x \ &=-\int_{a}^{b} M(x, f_1(x)) d x+\int_{a}^{b} M(x, f_2(x)) d x \ &=\oint_{C} M d x \end{aligned} $$
通量(Flux)
在流体运动中, 通量是单位时间内流经某单位面积的某属性量, 是表示某属性量输送强度的物理量. 在大气科学中, 包含动量通量, 热通量, 物质通量和水通量.
通量的本质是一种线积分. 对于向量场 $\vec F$ 和曲线 $C$, 通量表示为 $$ \int_{C} \vec{F} \cdot \hat{n} d s $$ 其中 $ds$ 是曲线 $C$ 的微元，$n$ 是垂直于 $ds$ 的单位法向量(垂直于 $C$, 即顺时针旋转 $\frac{\pi}{2}$).
如果把 $\vec F$ 看成一个流速场(velocity field), 比如水流正在以某种速度流动, 那么 $\vec F$ 解释了在平面上每一点的水流流动情况. 处于 $\vec F$ 中的曲线 $C$ 的通量度量了单位时间内有多少流体流过曲线C. 若将 $\vec F$ 看成河流, $C$ 是位于河中的渔网, 通量可以计算单位时间内有多少河水流过了渔网.
如在匀速场中, $\Delta s$ 为曲线的一小段, 单位时间内通过 $\Delta s$ 的水流将是一个平行四边形, 其面积为 $$ Area =\Delta S\cdot \text {Height}=\Delta s(\vec{F} \cdot \hat{n}) $$ 如果流体不是匀速的, 需要取足够小的单位时间. 将所有流过 $\Delta s$ 的水流做积分, 就是单位时间内通过 $C$ 的水流的净流量, 即 $C$ 的通量. 如果流体从左到右通过C, 通量取正值, 反之取负值.
通量的计算
几何方法
考虑向量场 $\vec F = x\vec i + y\vec j$ 中逆时针的闭合圆形曲线 $C:x^2+y^2=a^2$,
曲线 $C$ 上的法向量 $\hat n$ 与 $\vec F$ 平行, 即 $\hat n \parallel \vec F$, 所以 $\vec F \cdot \hat n=|\vec F||\hat n|\cos(0)=|\vec F|=\sqrt{x^2+y^2}=a$ $$ \int_{C} \vec{F} \cdot \hat{n} d s=a\underbrace{\int_Cds}_{2\pi a}=2\pi a^2 $$ 若向量场为 $\vec F=-y\vec i+x\vec j$,
曲线 $C$ 上的法向量 $\hat n$ 与 $\vec F$ 垂直, 即 $\hat n \perp \vec F$, 所以 $\vec F \cdot \hat n=|\vec F||\hat n|\cos(\pi/2)=0$, 通量亦为 $0$.
线积分
在线积分中, $\Delta\vec{r}$ 是外力 $\vec F=\lang M,N \rang$ 作用下的微小位移, 与轨迹相切, $\hat T$ 为 $\Delta\vec{r}$ 方向上的单位向量, $$ \Delta\vec r \approx \hat T \Delta s \implies d \vec r = \langle d x, d y \rangle = \hat T d s $$ 所以 $$ \int_C \vec F \cdot d \vec r = \int_C \vec F \cdot \hat T ds $$ $\hat n$ 可由 $\hat T$ 顺时针旋转90度得到, 所以 $\hat n ds=\lang dy,-dx \rang$ (by linear transformation) $$ \int_{C} \vec{F} \cdot \hat{n} d s=\int_{C}\langle M, N\rangle \cdot\langle d y,-d x\rangle=\int_{C} M d y-N d x $$
功(work)和通量(flux)
在线积分中, $\vec F$ 与 $\hat T$ 的点积表示 $\vec F$ 在 $\hat T$ 方向的分量, $\hat T$ 与 $ds$ 同向. 线积分度量的是在场中沿曲线前进时 $\vec F$ 做的功, 或者说克服 $\vec F$ 做了多少功.
在通量中, $\vec F$ 与 $n$ 的点积表示 $\vec F$ 在 $n$ 方向的分量, $n$ 与 $ds$ 垂直. 通量度量的是有多少向量场会通过曲线, 正负号表示通量的方向.
格林公式
通量的线积分形式为: $$ \int_{C} \vec{F} \cdot \hat{n} d s=\int_{C} M d y-N d x $$ 考虑处处可导的平面向量场中, 对逆时针的闭合曲线求线积分, 对于等式右边可以使用格林公式: $$ \oint_{C} M d y-N d x=\iint_{R}\left(M_{x}+N_{y}\right) d A $$
The above formula is also known as the orthogonal form of the Green’s theorem, which is another expression of the Green’s theorem.
上式又称格林公式的正交形式.
证明
若 $\vec F=\lang P,Q \rang$, 令 $Q=-M$, $P=N$ $$ \oint_{C} \vec{F} \cdot \hat{n} d s = \oint_{C} Pdy-Qdx=\oint_C Mdx+Ndy = \iint_R (N_x - M_y) dA $$ 其中 $N_x=P_x$, $-M_y=Q_y$, 所以 $$ \oint_C\vec F\cdot\hat nds=\iint_R(P_x+Q_y)dA $$
散度(Divergence)
对于场向量 $\vec{F}=\langle M, N\rangle$, 有散度(divergence) $$ \operatorname{div}(\vec{F})=M_{x}+N_{y} $$ 其度量的是流体的发散程度.
格林公式 $$ \begin{aligned} \oint_{C} M d y-N d x = \iint_R \operatorname{div}(\vec F) d A &= \iint_{R}\left(M_{x}+N_{y}\right) d A \ \oint_C M d x+N d y = \iint_R \operatorname{crul}(\vec F) d A &= \iint_R \left(N_{x}-M_{y}\right) d A \end{aligned} $$