§数列和级数：基本概念
- 数列（sequences）的收敛和发散
- 两个重要的数列
- 数列极限与函数极限的关系
- 级数的收敛与发散，以及几何级数（geometric series）的敛散性
- 第 $n$ 项判别法（the $n$th term test for series）
- 级数和反常积分的联系
- 比式判别法（ratio test）、根式判别法（root test）、积分判别法（integral test）和交错级数判别法（alternating series test）
22.1 数列的收敛和发散
无穷数列（infinite sequence）的敛散性
In math notation, does $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ exist, and if so, what is it?
22.1.1 数列和函数的关系
There’s also a connection to horizontal asymptotes:
若 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L$，则 $y=f(x)$ 的图像有水平渐近线 $y=L$
For example, if you have two convergent sequences $a_n$ and $b_n$, such that $a_n \to L$ and $b_n \to M$ as $n \to \infty$, then the sum $a_n + b_n$ gives a new sequence which converges to $L + M$. The same goes for differences, products, quotients (provided that $M \neq 0$, since you can’t divide by $0$), and constant multiples.
两个收敛数列的加减乘除（或数列常数倍乘积）构成新数列
if $c_n \leq a_n \leq b_n$ and both $b_n \to L$ and $c_n \to L$ as $n \to \infty$, then $a_n \to L$ as $n \to \infty$ as well.
夹逼定理（squeeze principal）对数列同样适用
Another property which transfers over from functions is that continuous functions respect limits.
连续函数保持极限：假设 $n \to \infty$ 时，$a_n \to L$，则如果函数 $f$ 在 $x=L$ 连续，可以说 $n \to \infty$ 时，$f(a_n) \to f(L)$ 对任何式子取函数 $f$ 时，极限关系仍保持。例如
$$ \lim_{n\to\infty}\cos({\sin(n)\over{n^2}}) $$
当 $n\to\infty$ 时， ${\sin(n)\over{n^2}} \to 0$ （$a_n={\sin(n)\over{n^2}}$，$L=0$）
$\cos(x)$ 在 $x=L=0$ 处连续，
$\cos({\sin(n)\over{n^2}}) \to \cos(0) = 1$
One more useful tool that we can borrow from the theory of functions is l’Hopital’s Rule.
洛必达法则（见14.1）
22.1.2 两个重要的数列
- 等比数列
$$ \lim_{n\to\infty}r^n \begin{cases}r=0&,-1<r<1\ =1&,r=1\ =\infty&,r>1\ DNE&,r\leq-1 \end{cases} $$
- 特别的，若 $k$ 为任意常数（由9.2.3中的极限而来）
$$ \lim_{n\to\infty}(1+{k \over n})^n=e^k $$
22.2 级数的收敛和发散
A series is just a sum. We’d like to add up all of the terms of a sequence $a_n$.
用求和号定义无穷级数的值： $$ \sum_{n=1}^{\infty}{a_n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N{a_n} $$ 首项没有定义时，级数无意义（如 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{1\over{n^2}}$）。常选择足够大的 $n$ 作为起点以避免该情形
22.2.1 几何级数
$$ 1+r+r^2+r^3+\dots=\sum_{n=0}^{\infty}r^n $$
如果 $-1 \leq r \leq 1$，$\sum\limits_{n=0}^{\infty}r^n={1\over1-r}$ 收敛
如果 $r \geq 1$ 或 $r \leq -1$，级数发散
首项不为 $1$ 时，
如果 $-1 \leq r \leq 1$，$\sum\limits_{n=0}^{\infty}ar^n={a\over1-r}$ 收敛
如果 $r \geq 1$ 或 $r \leq -1$，级数发散
证明
$$ A_n=\sum_{n=0}^{\infty}{r^n}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r} $$
通过伸缩级数来证明，略
22.3 第 n 项判别法
如果 $\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\neq0$ 或 DNE，则级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ 发散
Just beware: the $n$th term test cannot be used to show that a series converges!
注意：不能用于判断级数是否收敛
22.4 无穷级数和反常积分的性质
22.4.1 比较判别法
更多例子见下一章（23）
22.4.2 极限比较判别法
当 $n\to\infty$ 时，$a_n \sim b_n$ 与 $\lim\limits_{n\to\infty}{a_n \over b_n}=1$ 含义相同
22.4.3 p-判别法
$$ \sum_{n=a}^{\infty}{1\over{n^p}} \begin{cases} diverge&,p>1\ converge&,p\leq1\ \end{cases} $$
22.4.4 绝对收敛判别法
更多信息见22.5.4
22.5 级数的新判别法
22.5.1 比式判别法
$$ b_n=|{a_{n+1}\over{a_N}}| $$
若数列 $b_n$ 收敛于小于 $1$ 的数，则级数 $\sum{a_n}$ 收敛（绝对值收敛）；
若数列 $b_n$ 收敛于大于 $1$ 的数，则级数 $\sum{a_n}$ 发散；
若数列 $b_n$ 收敛于 $1$ 或不收敛，无法判断原级数的敛散性
证明
略
22.5.2 根式判别法
$n$ 次方根判别法： $$ b_n=|a_n|^{1/n}=\sqrt[n]{|a_n|} $$ 对数列 $b_n$ 求极限：$\lim\limits_{x\to\infty}b_n$
若极限小于 $1$ ，则级数 $\sum{a_n}$ 收敛（绝对值收敛）；
若极限大于 $1$ ，则级数 $\sum{a_n}$ 发散；
若极限值为 $1$，无法判断原级数的敛散性
证明
略
22.5.3 积分判别法
函数 $f$ 对所有正整数 $n$，有 $f(n)=a_n$（曲线 $y=f(x)$ 经过数列各点）
考虑积分 $\int_1^{\infty}f(x)\mathrm{d}x$，
若积分收敛，则级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛，因为 $$ 0 \leq \sum\limits_{n=2}^{\infty}a_n \leq \int_1^{\infty}f(x)\mathrm{d}x < \infty $$ （注意：级数的前几项不影响其敛散性）
若积分发散，则级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 发散，因为 $$ \sum\limits_{n=2}^{\infty}a_n \geq \int_1^{\infty}f(x)\mathrm{d}x = \infty $$
p-判别法的证明
22.5.4 交错级数判别法
若级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 是正负交错的，且各项绝对值递减趋近于 $0$，则级数收敛
When a series converges, but its absolute version diverges, we say that the series converges conditionally.
条件收敛：当一个级数收敛而其绝对值形式发散。例如 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} $$ 原级数收敛，绝对值形式 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n$ 发散（p-判别法）
§求解级数问题
求解技术问题的思考策略（顺序）：
- 几何级数
- 级数各项趋近于 $0$，第 n 项判别法
- 级数中有负项，绝对收敛判别法
- 级数中有阶乘，比式判别法
- 底和指数都包含 $n$ 的指数，根式判别法
- $1/n$ 或对数，积分判别法
- 其他情况
23.1 如何求几何级数的值
If your series only involves exponentials like $2^n$ or $e^{3n}$, it might be the sum of one or more geometric series.
If the common ratio isn’t between $-1$ and $1$, then the series diverges.
23.2 如何应用第 $n$ 项判别法
This test cannot be used to show that a series converges.
若 $\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}\neq{0}$ 或 DNE，则级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ 发散
23.3 如何使用比式判别法
Use the ratio test whenever factorials are involved.
若 $\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=L$ ，则级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ 在 $L<1$ 时绝对收敛，在 $L>1$ 时发散；在 $L=1$ 或 DNE 时，无法判断
例如，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{(n+3)^n}$
23.4 如何应用根式判别法
Use the root test when there are a lot of tricky exponentials around involving functions of $n$.
若 $\lim\limits_{n\to\infty}|{a_{n+1}}^{1/n}|=L$ ，则级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ 在 $L<1$ 时绝对收敛，在 $L>1$ 时发散；在 $L=1$ 或 DNE 时，无法判断
例如，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-{2 \over n})^{n^2}$
23.5 如何应用积分判别法
Use the integral test when the series involves both $1/n$ and $\ln(n)$.
若对连续递减函数 $f$ 有 $a_n=f(n)$，则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ 与 $\int_n^{\infty}{f(x)}\mathrm{d}x$ 同时收敛或发散
23.6 如何应用比较判别法、极限比较判别法和 p-判别法
Use these tests for series with positive terms when none of the other tests seem to apply.
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n^2+3n+7}{n ^4+2n^3+1}=7+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n+7}{n^4+2n^3+1} $$
23.7 如何应付含负项的级数
- If all the terms an are negative, then modify the series by putting a minus sign in front of all the terms.
- If some terms are positive and some terms are negative, try the $n$ th term test first.
- If some terms are positive and some terms are negative, and the terms converge to $0$ as $n \to \infty$, next try the absolute convergence test.
- If the series doesn’t converge absolutely, try the alternating series test.
$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n} $$
根据 p-判别法，绝对形式发散。故直接使用交错级数判别法：
-
级数交错（√）
-
$\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{(-1)^n}{n}|=\lim\limits_{n\to\infty}{1 \over n}=0$ （√）
—— 若极限不为 $0$，根据第 n 项判别法，原级数发散
-
递减数列 （√）