普林斯顿微积分读本 VI

May 6, 2021    反常积分   比较判别法   收敛   瑕点  

§反常积分的基本概念

20.1 收敛和发散

积分有意义：$\int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x$ 的被积函数在区间 $[a,b]$ 内有界且连续（有限个间断点也可以）的；或者无限多个不连续点（infinitely many discontinuities）（见16.7）

反常积分的定义：满足以下任一条件

  1. $f$ 在区间 $[a,b]$ 内无界
  2. $b=\infty$ 或
  3. $a=-\infty$

If $f(x)$ is unbounded for $x$ near some number $c$, we’ll say that f has a blow-up point at $x = c$. Again, in most situations, this is the same thing as a vertical asymptote.

破裂点（blow-up point）的大多数情况是垂直渐近线，需要使用极限思想

if the integral isn’t improper, it automatically converges!

如果积分不是反常积分，那么它是自动收敛的！

如果仅仅在 $x$ 接近于 $a$ 点，该函数 $f(x)$ 是无界的，这时设置 $\int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x=\lim\limits_{\epsilon\to{0^+}}\int_{a+\epsilon}^b{f(x)}{\mathrm d}x$

该极限存在时，积分收敛；否则，积分发散

极限结果为 $\pm\infty$ 或当 $\epsilon\to{0^+}$ 时函数图像上下振荡，则该极限无意义

In practice, you can use computational techniques to estimate the value, but only if you know that the integral converges.

20.1.1 反常积分的例子

例如，$\int_0^1{1\over{x}}{\mathrm d}x$ 和 $\int_0^1{1\over\sqrt{x}}{\mathrm d}x$ 分别表现出发散和收敛

注意：了解一个反常积分的收敛或发散，重点在于 Blow-up Point $$ \int_a^c{f(x)}{\mathrm d}x=\lim_{\epsilon\to{0^+}}\int_{a+\epsilon}^c{f(x)}{\mathrm d}x=\lim_{\epsilon\to{0^+}}(\int_{a+\epsilon}^b{f(x)}{\mathrm d}x+\int_b^c{f(x)}{\mathrm d}x) $$

20.1.2 其他破裂点

如果仅仅在 $x$ 接近于 $b$ 点，该函数 $f(x)$ 是无界的，这时设置 $\int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x=\lim\limits_{\epsilon\to{0^+}}\int_a^{b-\epsilon}{f(x)}{\mathrm d}x$

该极限存在时，积分收敛；否则，积分发散

如果 Blow-up Point $c$ 在区间 $(a,b)$ 间，需要把积分拆分为两部分，即 $\int_a^c{f(x)}{\mathrm d}x$ 和 $\int_c^b{f(x)}{\mathrm d}x$

根据 Blow-up Point 为左（右）侧极限，积分的极限分别为 $\lim\limits_{\epsilon\to{0^+}}\int_a^{c-\epsilon}{f(x)}{\mathrm d}x$ 和 $\lim\limits_{\epsilon\to{0^+}}\int_{c+\epsilon}^b{f(x)}{\mathrm d}x$ ，当且仅当这两个极限存在（积分收敛）时，该反常积分收敛；如果任何一个发散，该反常积分发散

(For the moment, the term “problem spot” means the same thing as \blow-up point," but in the next section we’ll see a different sort of problem spot that isn’t a blow-up point.)

20.2 无界区间的积分

…when one or both of the limits of integration are infinite; this means that the region of integration is unbounded.

无界区间：积分上下限有一个或同是无穷的情况

如果 $f$ 在区间 $[a,\infty)$ 上没有 Blow-up Point，

$$ \int_a^{\infty}f(x){\mathrm d}x=\lim_{N\to\infty}\int_a^N{f(x)}{\mathrm d}x $$ 极限存在，则反常积分收敛

如果 $f$ 在区间 $(-\infty,b]$ 上没有 Blow-up Point，

$$ \int_{-\infty}^b{f(x)}{\mathrm d}x=\lim_{N\to\infty}\int_{-N}^b{f(x)}{\mathrm d}x $$

如果 $f$ 在整个区间内没有 Blow-up Point，

$$ \int_{-\infty}^{\infty}{f(x)}{\mathrm d}x $$

并将积分拆分为两部分

20.3 比较判别法

Suppose we have two functions which are never negative, at least in some region of interest. If the first function is bigger than the second function, and the integral of the second function (over our region) diverges, then the integral of the first function (over the same region) also diverges.

如果在区间 $(a,b)$ 上，$g(x)$ 发散，$f(x) \geq g(x) \geq 0$， 则 $f(x)$ 也发散

$$ \int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x\geq\int_a^b{g(x)}{\mathrm d}x=\infty $$

如果在区间 $(a,b)$ 上，$g(x)$ 收敛$，0 \leq f(x) \leq g(x)$，则 $f(x)$ 也收敛 $$ \int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x\leq\int_a^b{g(x)}{\mathrm d}x<\infty $$ 如果 $f$ 和 $g$ 在 $x=a$ 处存在垂直渐近线，且无其他 Blow-up Point，对于所有在区间 $[a,b]$ 上的 $x$，有 $\epsilon>0$ 使 $$ 0 \leq \int_{a+\epsilon}^b{f(x)}{\mathrm d}x\leq\int_{a+\epsilon}^b{g(x)}{\mathrm d}x $$

20.4 极限比较判别法

suppose that two functions f and g are very close to each other at the blow-up point $x = a$ (and have no other blow-up points). Then $\int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x$ and $\int_a^b{g(x)}{\mathrm d}x$ either both diverge or bot converge. Their behavior is identical. Intuitively, it make sense;

20.4.1 函数互为渐近线

假设有两个函数 $f$ 和 $g$ 满足 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$

当 $x\to a$ 时，$f(x)\sim g(x)$ 同 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$ 有着同样的意义

Actually, we’ve seen many of these types of limits! Here are some examples:

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^3-1000x^2+5x-7}{3x^3}$, $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$, $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1$

Indeed, you can take powers of asymptotic relations and get new ones.

$\sin^3(x) \sim x^3$ as $x\to0$, or $1/\sin(x) \sim 1/x$ as $x\to0$

You can also replace $x$ by any other quantity that goes to $0$ as $x$ does, such as a power of $x$.

$\sin(4x^7) \sim 4x^7$ as $x\to0$

You can even multiply or divide two relations by each other, provided that the limit is at the same value of x for both asymptotic relations.

$\tan(x) \sim x$ as $x\to0$, so we have $\tan(x)\sin(x) \sim x^2$ as $x\to0$

So, by all means, multiply, divide, and take powers of asymptotic relations, but don’t add or subtract them.

20.4.2 极限比较判别法

极限比较判别法（limit comparison test）：如果当 $x \to a$ 时，$f(x) \sim g(x)$ 且函数 $f$ 和 $g$ 在区间 $[a,b]$ 上没有其他瑕点（problem spots），那么 $\int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x$ 和 $\int_a^b{g(x)}{\mathrm d}x$ 同时收敛或同时发散

例

$$ \int_0^1{1\over\sin{\sqrt{x}}}{\mathrm d}x\tag{1} $$

${1\over\sin\sqrt{x}}\sim{1\over\sqrt{x}}$ as $x\to0^+$

$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}{\mathrm d}x\tag{2} $$

因为 (1) 和 (2) 在区间 $(0,1]$ 上没有 Blow-up Point，所以同时收敛或同时发散

$$ \lim\limits_{\epsilon\to0^+}\int_{0+\epsilon}^1\frac{1}{\sqrt{x}}{\mathrm d}x=2 $$

故该积分收敛。

假设有两个函数 $f$ 和 $g$ 满足 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$，当 $x \to a$ 时，$f(x)/g(x)$ 的比值介于 $[1/2,2]$ 之间，在 $a$ 和 $b$ 之间选择一个数 $c$，满足 $$ \begin{aligned} {1/2}\leq\frac{f(x)}{g(x)}\leq2,x\in(a,c] \ \implies{1/2}g(x)\leq{f(x)}\leq{2g(x)} \end{aligned} $$ 如果 $\int_a^b{g(x)}{\mathrm d}x$ 发散，则 $\int_a^c{g(x)}{\mathrm d}x$ 和 ${1\over2}\int_a^c{g(x)}{\mathrm d}x$ 也是发散的，由比较判别法得，$\int_a^c{f(x)}{\mathrm d}x$ 和 $\int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x$ 也是发散的。

如果 $\int_a^b{g(x)}{\mathrm d}x$ 收敛，则 $2\int_a^c{g(x)}{\mathrm d}x$ 收敛，由比较判别法得，$\int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x$ 也是收敛的。

20.5 p-判别法

判别法的基本策略：选择一个简单（易于知道收敛或发散）的函数 $g$ 来判别函数 $f$ 的性质 $$ g(x)={1\over{x^p}},p>0 $$

当 $p=1$ 时，$g(x)={1\over{x}}$，此时这两个积分都是发散的

记忆：$\int_a^{\infty}{1\over{x^2}}{\mathrm d}x$ 和 $\int_0^a{1\over\sqrt{x}}{\mathrm d}x$ 收敛

证明

$\int^\infty$ version： $$ \begin{aligned} \int_a^{\infty}{1\over{x^p}}{\mathrm d}x &=\lim_{N\to\infty}\int_a^N{x^{-p}}{\mathrm d}x\ &=\lim_{N\to\infty}{1\over{1-p}}x^{1-p}\Big|a^N\ &={1\over{1-p}}[(\lim{N\to\infty}N^{1-p})-a^{1-p}] \end{aligned} $$ $L=\lim\limits_{N\to\infty}N^{1-p}=\lim\limits_{N\to\infty}{1\over{N^{p-1}}}$

如果 $p>1$，$L$ 趋近于 $0$，积分收敛；反之 $p<1$，$L$ 趋近于 $\infty$，积分发散。

$\int_0$ version：$\epsilon\to0^+$ 替代 $N\to\infty$

20.6 绝对收敛判别法

注意：比较判别法假设函数 $f$ 和函数 $g$ 都是非负的

绝对收敛判别法（absolute convergence test）：如果 $\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$ 是收敛的，那么 $\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$ 也是收敛的

This also works on infinite regions of integration (such as $[a,\infty)$ instead of $[a,b]$). Watch out: if the absolute-value version of the original integral diverges, then the original integral could still converge!

原始积分的绝对值是发散的，这个原始积分可能还是收敛的

当积分的绝对值版本不是收敛时，不能使用绝对收敛判别法。例如 $\int_0^{\infty}\cos(x)\mathrm{d}x$ （振荡太多）

例

反常积分 $\int_1^{\infty}{\sin(x)\over{x^2}}\mathrm{d}x$ 的被积函数在正负之间振荡，考虑绝对收敛判别法 $$ \int_1^{\infty}|{\sin(x)\over{x^2}}|\mathrm{d}x=\int_1^{\infty}{|\sin(x)|\over{x^2}}\mathrm{d}x $$

根据比较判别法和 p-判别法，有 $\int_1^{\infty}{|\sin(x)|\over{x^2}}\mathrm{d}x\leq\int_1^{\infty}{1\over{x^2}}\mathrm{d}x$，右侧积分收敛，故左侧积分也收敛。

证明

假设 $\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$ 是收敛的，

设对于 $f$ 的 $x$ 的定义区间 $[a,b]$ 上有 $g(x)=|f(x)|+f(x)$，那么 $0 \leq g(x) \leq 2|f(x)|$ $$ 0 \leq \int_a^b{g(x)}\mathrm{d}x \leq 2\int_a^b{|f(x)|}\mathrm{d}x \leq \infty $$ 由比较判别法得，$\int_a^b{g(x)}\mathrm{d}x$ 收敛 $$ \int_a^b{f(x)}\mathrm{d}x=\int_a^b{g(x)}\mathrm{d}x-\int_a^b{|f(x)|}\mathrm{d}x $$ 所以 $\int_a^b{f(x)}\mathrm{d}x$ 也是收敛的。

§反常积分：如何求解

21.1 如何开始

反常积分：被积函数在区间 $[a,b]$ 上至少有一个瑕点，常出现在破裂点，如由垂直渐近线的点附近，或 $\infty$ 或 $-\infty$ 附近

每次只关注一个瑕点，故首先应适当地拆分积分，然后处理 $f$ 存在负值的情况

21.1.1 拆分积分

基本对策：

  1. 确定 $[a,b]$ 上所有瑕点
  2. 拆分积分，每个积分至多有一瑕点，使之作为相应的上（下）限
  3. 如果任一积分发散，则整个积分发散

例如： $$ \int_0^{\infty}{1\over{\sqrt{x}+x^2}}\mathrm{d}x $$ 上下限分别为两个瑕点，故选择区间内的数字，把积分拆分为两个

如果没有瑕点，即积分 $\int_a^b{f(x)}\mathrm{d}x$ 在区间内有界（没有 $\infty$ 或 $-\infty$ ），积分收敛（见 20.1）

21.1.2 处理负函数值

负函数值常出现三角函数或对数函数中 ——

如果被积函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上既有正值又有负值，考虑绝对收敛判别法，适用于积分区间不是有界的，且包含三角函数的反常积分。

you cannot use the absolute convergence test to show that an integral diverges

如果被积函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上恒为负值（或为 $0$），即在区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\leq0$，那么 $$ \int_a^b{f(x)}\mathrm{d}x=-\int_a^b{(-f(x))}\mathrm{d}x $$ 可以使用比较判别法或 p-判别法来看 $\int_a^b{(-f(x))}\mathrm{d}x$ 收敛还是发散。

如果上面的两种情况不适用，则考虑反常积分的定义

21.2 判别法的总结

In all the tests below, the integrand $f(x)$ is assumed to be positive on the region of integration.

比较判别法（Comparison test）——

极限比较判别法——找到一个和被积函数在瑕点附近敛散性一致的函数

p-判别法——对任意有限值 $a>0$，根据 $g(x)=1/x^p$ 合理的 $p$ 值判断积分的敛散性

21.3 常见函数在 $\pm\infty$ 附近的变化

21.3.1 在 $\pm\infty$ 附近的多项式和多项式函数

As far as polynomials are concerned, the highest power dominates as $x\to\infty$ or $x\to-\infty$.

多项式最高次项在 $x\to\infty$ 或 $x\to-\infty$ 时起决定作用：设 $p$ 为多项式，则

若 $p(x)$ 的最高次项是 $ax^n$，则当 $x\to\infty$ 或 $x\to-\infty$ 时，有 $p(x){\sim}ax^n$

Basically, if the “limit comparison function” $g$ has a problem spot that the original function doesn’t, you have to split up the original integral to avoid introducing a new problem spot.

适用于 p-判别法的被积函数 $g(x)=1/x^p$，在 $\infty$ 有瑕点，只需要避免出现 $x=0$。

例如， $$ \int_0^{\infty}{1\over{x^5+4^4+1}}\mathrm{d}x $$ ${1\over{x^5+4^4+1}}\sim{1\over{x^5}}$ as $x\to-\infty$

讨论 $\int_0^{\infty}{1\over{x^5}}\mathrm{d}x$ 时，该积分因为 $x=0$ 有一瑕点而发散，导致结论错误。故将原积分拆分为 $\int_0^1{1\over{x^5+4^4+1}}\mathrm{d}x$ （收敛，无瑕点）和 $\int_0^{\infty}{1\over{x^5+4^4+1}}\mathrm{d}x$ （收敛，极限比较判别法和 p-判别法）。

最高次项难以确定时（通常在根号存在时最高次幂抵消），将分子分母同时乘以共轭表达式

例如， $$ \begin{aligned} \int_9^{\infty}{1\over\sqrt{x^4+8x^3-9}-x^2}\mathrm{d}x &= \int_9^{\infty}{1\over\sqrt{x^4+8x^3-9}-x^2}\times\frac{\sqrt{x^4+8x^3-9}+x^2}{\sqrt{x^4+8x^3-9}+x^2}\mathrm{d}x \&=\int_9^{\infty}{\sqrt{x^4+8x^3-9}+x^2\over8x^3-9}\mathrm{d}x \end{aligned} $$

当 $x\to\infty$ 时，$8x^3-9\sim8x^3$，$\sqrt{x^4+8x^3-9}{\sim}x^2\implies\sqrt{x^4+8x^3-9}+x^2\sim2x^2$

注意：渐进相关（asymptotic relations）的函数（含有 $x$ 的表达式之间）不能直接加减

21.3.2 在 $\pm\infty$ 附近的三角函数

对任意实数 $A$ 有 $|\sin(A)|\leq1$ 和 $$|\cos(A)|\leq1$$

  1. 比较判别法：如 $\int_5^{\infty}{|\sin(x^4)|\over\sqrt{x}+x^2}\mathrm{d}x\leq\int_5^{\infty}{1\over\sqrt{x}+x^2}\mathrm{d}x<\infty$
  2. 相对于 $x$ 的任何正数次幂，至少在 $\infty$ 和 $-\infty$ 时，任何数的正弦或余弦值都可忽略：如 $2^3-3x^{0.1}+\sin(100x^200)\sim2x^3$ as $x\to\infty$

21.3.3 在 $\pm\infty$ 附近的指数函数

… exponentials grow faster than polynomials.

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x}=0 $$

设函数 $f(x)={x^n}/{e^x}$，当 $x \geq 0$ 时，考虑 $f(x)$ 的图像存在一个可能的最大值 $C$，故有 $f(x) \leq C$，即对所有 $x \geq 0$ ，存在 $$ \frac{1}{e^x}=e^{-x}\leq\frac{C}{x^n} $$ 把 $e^{-x}$ 替换为 $e^{-p(x)}$ ，或把自然常数 $e$ 替换为任意大于 $1$ 的数字，不等式成立。

类型一：基本类型，通常选择比多项式最高次项（需要消去）的幂大 $2$ 的 $n$ ，例如

$$ \int_1^{\infty}{x^3}e^{-x}\mathrm{d}x\leq\int_1^{\infty}{x^3}\frac{C}{x^5}\mathrm{d}x =C\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x <\infty $$

根据 p-判别法（$\int_1^{\infty}{1\over{x^2}}\mathrm{d}x$ 收敛）和比较判别法判断原积分收敛

注意：若考虑 $e^{-x} \leq C/x^4$，由 p-判别法可得 $\int_1^{\infty}{1\over{x}}\mathrm{d}x$ 发散，无法使用比较判别法原积分的敛散性

An important point: it is wrong, wrong, wrong to write ${x^3}e^{-x}\sim{e^{-x}}$ as $x \to \infty$.

类型二：考虑 $e^x$ 在 $-\infty$ 附近时，可以使用变量代换 $t=-x$，$\mathrm{d}t=-\mathrm{d}x$ （需要对积分的上下限进行调换），例如 $$ \int_{-\infty}^{-4}x^{1000}e^x\mathrm{d}x=\int_{4}^{\infty}t^{1000}e^t\mathrm{d}t $$ 类型三： $e^x$ 在 $\infty$ 附近时发散的情况，例如 $\int_4^{\infty}{x^{1000}}{e^x}\mathrm{d}x\geq\int_4^{\infty}1\mathrm{d}x=\infty$

类型四：加上指数函数与多项式函数，显然当 $x \to \infty$ 时， $e^x$ 在表达式中起决定作用（注意：若出现多个指数函数的情况，最大底数的指数函数起决定作用）

21.3.4 在 $\infty$ 附近的对数函数

… logs grow slowly at $\infty$.

若 $\alpha > 0$ ，不管它多小 $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{\alpha}}=0 $$ 对所有 $x > 1$ ，存在 $$ \ln(x)\leq{Cx^{\alpha}} $$ 对所有底数大于 $1$ 的对数函数或最高次项系数为正数的多项式，不等式成立

类型一：基本类型，通常选择被多项式最高次项的幂消去（减去）后仍大于 $1$ 的 $\alpha$，例如

$$ \int_2^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^{1.001}}\mathrm{d}x\leq\int_2^{\infty}\frac{Cx^{0.0005}}{x^{1.001}}\mathrm{d}x=C\int_2^{\infty}\frac{1}{x^{1.0005}}\mathrm{d}x<\infty $$

注意：若考虑 $\ln(x) \leq Cx^{0.5}$，由 p-判别法可得 $\int_2^{\infty}\frac{1}{x^{0.501}}\mathrm{d}x$ 发散，无法使用比较判别法原积分的敛散性

$\ln(x)$ 随 $x$ 增大在区间内有最小值，根据最小值找出使用比较判别法需要的不等式

类型二：例如 $\int_2^{\infty}{\ln(x)\over{x}}\mathrm{d}x\geq\int_2^{\infty}{\ln(2)\over{x}}\mathrm{d}x=\ln(2)\int_2^{\infty}{1\over{x}}\mathrm{d}x=\infty$

因为在区间 $[2,\infty)$ 上，$\ln(x)$ 有下界，有 $\ln(x)\geq\ln(2)$

类型三：$\ln(x)$ 出现在分母时，且分母中的多项式因子收敛，取倒数，有 ${1\over\ln(x)}\leq{1\over\ln(2)}$，例如 $\int_2^{\infty}{1\over{x^{1.001}\ln(x)}}\mathrm{d}x \leq \int_2^{\infty}{1\over{x^{1.001}\ln(2)}}\mathrm{d}x={1\over\ln(2)}\int_2^{\infty}{1\over{x^{1.001}}}\mathrm{d}x<\infty$

注意：基本类型取倒数的情况 $$ \frac{1}{\ln(x)}\geq{1\over{Cx^{\alpha}}} $$ 通常选择被多项式最高次项的幂加上后不大于 $1$ 的 $\alpha$

类型四：考虑变量代换，令 $t=\ln(x)$，$\mathrm{d}t=1/x\mathrm{d}x$，例 $\int_2^{\infty}{1\over{x\ln(x)}}\mathrm{d}x=\int_{\ln(2)}^{\infty}{\mathrm{d}t\over{t}}=\infty$

21.4 常见函数在 $0$ 附近的情形

21.4.1 在 $0$ 附近的多项式和多项式函数

若 $p(x)$ 的最低次项 $bx^m$，则当 $x \to 0$，$p(x) \sim bx^m$

21.4.2 在 $0$ 附近的三角函数

当 $x \to 0$，$\sin(x) \sim x$，$\tan(x) \sim x$ 且 $\cos(x) \sim 1$

当 $x \to \infty$，$|\sin(x)|\leq 1$，$|\cos(x)| \leq 1$，考虑绝对收敛判别法

注意：讨论当 $x \to 0$，瑕点可能在 $\infty$ 处。

例如 $\int_1^{\infty}\sin({1\over{x}})\mathrm{d}x$，当 $x \to \infty$ 时，$1/x$ 变得很小（$1/x \to 0$），所以 $\sin(1/x) \sim 1/x$

21.4.3 在 $0$ 附近的指数函数

当 $x \to 0$ 时，$e^{x} \sim 1$，$e^{-x} \sim 1$

陷阱一：$e^{-1/x}\sim1$

当 $x \to 0^+$ 时，$1/x \sim \infty$，所以 $e^{-1/x} \leq \frac{C}{(1/x)^n}=Cx^n$

陷阱二：$e^x-1 \sim 0$

当 $x \to 0$ 时，由 $\lim\limits_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ 得，$e^x-1 \sim x$

21.4.4 在 $0$ 附近的对数函数

无论 $\alpha>0$ 多小，存在常数 $C$ 使得 $|\ln(x)|\leq{C\over{x^{\alpha}}}$ 对所有 $0<X<1$ 成立

由 $\lim\limits_{x\to0^+}x^{\alpha}\ln(x)=0$ 推出（见9.4.6）

21.4.5 在 $0$ 附近的更一般的函数

见24.2.2

21.5 如何应对不在 $0$ 或 $\infty$ 处的瑕点

瑕点出现在非 $0$ 处，考虑换元：