§积分的方法（一）
- 替代法（substitution）
- 分部积分法（integration by parts）
- 使用部分积分对有理函数求积分
18.1 替代法
Example1 $$ \begin{aligned} \int{x^2\cos(x^3)\mathrm{d}x} &=\int{\cos(x^3)(x^2\mathrm{d}x)}\ &=\int{\cos(t)({1\over3}\mathrm{d}t)}={1\over3}\sin(t)+C \ \int{e^{2x}\sec^2(e^{2x})\mathrm{d}x} &=\int{\sec^2(e^{2x})(e^{2x}\mathrm{d}x})\ &=\int{\sec^2(t)({1\over2}\mathrm{d}t)}={1\over2}\tan(t)+C \end{aligned} $$
Example2 $$ \int{\frac{f’(x)}{f(x)}\mathrm{d}x}=\ln|f(x)|+C $$
Example3 $$ \int\frac{1}{x\ln{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1/x}{\ln{x}}\mathrm{d}x=\ln|\ln{x}|+C $$
18.1.1 换元法和定积分
So one way to use the substitution method on a definite integral is to focus on the indefinite integral first, then after you’ve found it, plug in the limits of integration.
换元法：先换元求不定积分，然后把积分上下限分别代入求定积分；或者对上下限也进行换元计算
Example
$$ \int_{1/\sqrt{2}}^{\sqrt{3}/2}{\frac{1}{\sin^{-1}(x)\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x} $$
$\arcsin(x)$ 的导数是 $1\over\sqrt{1-x^2}$，所以用 $t=\arcsin(x)$ $$ \int{\frac{1}{\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x}=\int{\frac{1/\sqrt{1-x^2}}{\arcsin(x)}\mathrm{d}x}\int{1\over{t}}\mathrm{d}t=\ln|t|+C $$
18.1.2 替代公式的决定
Example
$$ \int{x\sqrt[5]{3x+2}\mathrm{d}x} $$
在换掉 $\sqrt[n]{ax+b}$ 之前，设 $t=\sqrt[n]{ax+b}$ 并对等式 $t^n=ax+b$ 两端求导
用含 $t$ 的表达式来表示 $\mathrm{d}x$
- for indefinite integrals, change everything to do with x and dx to stuff involving $t$ and $\mathrm{d}t$, do the new integral, then change back to $x$ stuff;
- for definite integrals, change everything to do with x and dx to stuff involving $t$ and $\mathrm{d}t$, and change the limits of integration to the corresponding $t$ values as well, then do the new integral (no need to go back to $x$-land here). Alternatively, treat the integral as an indefinite integral and when you get the final answer, then substitute in the limits of integration.
- 不定积分：用 $t$ 和 $\mathrm{d}t$ 表示带有 $x$ 的表达式和 $\mathrm{d}x$，求积分后换回 $x$
- 定积分：用 $t$ 和 $\mathrm{d}t$ 表示带有 $x$ 的表达式和 $\mathrm{d}x$，对上下限也进行换元；或者先计算不定积分
18.1.3 换元法的理论解释
$$ \begin{aligned} \int{f(t)\mathrm{d}t}&=F(t)+C\ t&=g(x)\ \implies \int{f(g(x))g’(x)\mathrm{d}t}&=F(g(x))+C\ \end{aligned} $$
换元法的解释
$$ \begin{aligned} h(x)&=F(g(x))\h’(x)&=F’(g(x))g’(x)\ \implies \int{F’(g(x))g’(x)\mathrm{d}x}&=h(x)+C\ \end{aligned} $$
证明 $F’(g(x))=f(g(x))$ $$ \begin{aligned} \int{f(t)\mathrm{d}t}&=F(t)+C\ \implies F’(t)&=f(t) \end{aligned} $$
18.2 分部积分
分部积分（integration by parts）—— 乘法法则的逆运算
乘法法则 ${\mathrm{d}\over\mathrm{d}x}(uv)=v{\mathrm{d}u\over\mathrm{d}x}+u{\mathrm{d}v\over\mathrm{d}x}$
$$ \int{u}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x=\int{\mathrm{d}\over\mathrm{d}x}(uv)\mathrm{d}x-\int{v{\mathrm{d}u\over\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x $$
用 $\mathrm{d}v$ 替代 ${\mathrm{d}v\over\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$，用 $\mathrm{d}u$ 替代 ${\mathrm{d}u\over\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$，公式简写为：
$$ \int{u\mathrm{d}v}=uv-\int{v\mathrm{d}u} $$
The moral is that if $e^x$ is present, you should normally let ${\mathrm d}v = e^x {\mathrm d}x$ so that $v$ is simply equal to $e^x$.
令 ${\mathrm d}v = e^x {\mathrm d}x$ 可以使计算更简单
18.2.1 分部积分的变形
Example
$$ \int x^2\sin(x) {\mathrm d}x $$
令 $v=-\cos(x)$，所以 ${\mathrm d}v=\sin(x){\mathrm d}x$
$$ \int x^2\sin(x) {\mathrm d}x = -x^2\cos(x)+\int \cos(x)2x{\mathrm d}x $$
在这个例子中，需要使用两次分部积分。有时候多次使用分部积分并不能直接解决问题，如计算
$$ \int \cos(x)e^{2x} {\mathrm d}x $$
时，需要将第二次分部积分得到的结果通过移项来抵消
非乘积的形式的函数
分部积分——乘法法则的逆运算
- $\int\ln{x}\mathrm{d}x$
- $\int(\ln{x})^2\mathrm{d}x$
- $\int\sin^{-1}(x)\mathrm{d}x$
- $\int\tan^{-1}(x)\mathrm{d}x$
That is, the integrand is any inverse trig function (by itself) or a power of $\ln(x)$.
18.3 部分分式
有理函数的积分问题：先研究代数运算，再使用微积分的方法。
18.3.1 部分分式的代数运算
The first step in this process is to make sure that the numerator of the function has degree less than the denominator.
多项式除法
$$ \int\frac{5x^2+x-3}{x^2-1}{\mathrm d}x=\int(5+\frac{x+2}{x^2-1}){\mathrm d}x $$
After factoring the denominator, the next step is to write down something called the “form.” This is made by adding together one or more terms for each factor of the denominator, according to the following rules:
-
分母是线性因子 $(x+a)$，分部的形式为 $$ {A \over x+a} $$
-
线性因子的平方形式 $(x+a)^2$，分部的形式为 $$ {A \over (x+a)^2}+{B \over x+a} $$
-
二项式形式 $(x^2+ax+b)$，分部的形式为 $$ \frac{Ax+B}{x^2+ax+b} $$
-
线性因子的多次（三次）幂的形式 $(x+a)^3$，分部的形式为 $$ {A \over (x+a)^3}+{B \over (x+a)^2}+{C \over x+a} $$
18.3.2 对每一部分积分
简单的积分形式：
$$ \int\frac{1}{ax+b}\mathrm{d}x $$
分母为线性因子，或其幂的形式，换元：$t=ax+b$
分母为二次函数（多项式函数）时，$\int\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\mathrm{d}x$
-
分母可以因式分解，转化为分母为线性因子的形式
-
分母不能因式分解（$b^2-4ac<0$），配方后换元
最高次项的系数不为 $1$，在配方前把系数提到积分外
常用的重要公式：
$$ \int\frac{t}{t^2+a}\mathrm{d}t={1\over{a}}\tan^{-1}(\frac{t}{a}+C) $$
18.3.3 有理函数积分的方法
Step 1|check degrees, divide if necessary:
Step 2|factor the denominator:
Step 3|the form:
Step 4|evaluate constants:
Step 5|integrate terms with linear powers on the bottom:
Step 6|integrate terms with quadratics on the bottom:
- 最高次项的处理，多项式除法
- 分母的因式分解
- 分部
- 计算常数的值：换掉 $x$ 的值，或系数相等法
- 分母的线性项次幂求积分
- 分母时二次函数的项求积分
Example
$$\int\frac{x^5-7x^4+19x^3-10x^2-19x+18}{x^4-5x^3+9x^2}\mathrm{d}x$$
被积函数可以写作 $$(x-2)+\frac{8x^2-19x+18}{x^4-5x^3+9x}$$
因为第二个加数的分母可以配方得 ${x^4-5x^3+9x}=x^2(x^2-5x+9)$
$$\frac{8x^2-19x+18}{x^2(x^2-5x+9)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{Cx+D}{x^2-5x+9}$$
分子 $$ 8x^2+19x+18=(B+C)x^3+(A-5B+D)x^2+(-5A+9B)x+9A $$
$$ \frac{8x^2-19x+18}{x^2(x^2-5x+9)}=\frac{2}{x^2}+\frac{-1}{x}+\frac{x+1}{x^2-5x+9} $$
求积分可得
$$ \begin{aligned} 2\int\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x-\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=-\frac{2}{x}-\ln|x|+C \ \int\frac{x+1}{x^2-5x+9}={1/2}\ln({x^2-5x+9})+\frac{7}{\sqrt{11}}\tan^{-1}(\frac{2x-5}{\sqrt{11}})+C \end{aligned} $$
最后相加得到
$$ \frac{x^2}{2}-2x-\frac{2}{x}-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln({x^2-5x+9})+\frac{7}{\sqrt{11}}\tan^{-1}(\frac{2x-5}{\sqrt{11}})+C $$
§积分的方法（二）
- 使用三角函数公式的积分
- 三角函数的幂（Powers of Trig Functions）以及递归公式的积分
- 三角换元法
19.1 使用三角函数公式的积分
二倍角公式（double-angle formulas）：$\cos(2x)=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)$
积分中，在计算 $\sqrt{1+\cos(anything)}$ 或 $\sqrt{1-\cos(anything)}$ 常用： $$ \begin{aligned} \cos^2(x)={1\over2}(1+\cos(2x)) \ \sin^2(x)={1\over2}(1-\cos(2x)) \end{aligned} $$ 使用以上公式计算积分时，应注意平方根与绝对值的关系。通常需要根据三角函数在一定范围内的函数图像来确定该项的正负
毕达哥拉斯定理： $$ \begin{aligned} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \ \tan^2(x)+1=\sec^2(x) \ 1+\cot^2(x)=\csc^2(x) \end{aligned} $$
If you see 1+trig(x) or 1-trig(x), where “trig” is some trig function (specically sine, cosine, secant, or cosecant), in the denominator of an integral, consider multiplying by the conjugate expression.
例如，$\int\frac{1}{\sec(x)-1}{\mathrm d}x=\int\frac{1}{\sec(x)-1}\times\frac{\sec(x)+1}{\sec(x)+1}{\mathrm d}x=\int\frac{\sec(x)+1}{\tan^2(x)}{\mathrm d}x$
积化和差公式（products-to-sums identities）：来自表达式 $\cos(A \pm B)$ 和 $\sin(A \pm B)$ （见2.4） $$ \begin{aligned} \cos(A)\cos(B)={1\over2}(\cos(A-B))+\cos(A+B) \ \sin(A)\sin(B)={1\over2}(\cos(A-B))-\cos(A+B) \ \sin(A)\cos(B)={1\over2}(\sin(A-B))+\sin(A+B) \end{aligned} $$
19.2 关于三角函数的幂的积分
19.2.1 正余弦的幂
正余弦函数幂的积分的黄金法则：① 幂是奇数（奇次幂）；② 低次幂
例如，$\int\cos^7(x)\sin^{10}(x){\mathrm d}x=\int(1-\sin^2(x))^3(x)\sin^{10}(x)\cos(x){\mathrm d}x$
let $t=\sin(x)$ , then $\implies {\mathrm d}t=\cos(s){\mathrm d}x$
当三角函数为偶次幂时，可能需要多次使用倍角公式
注意：计算 $\int\sqrt{1\pm\cos^2(x)}{\mathrm d}x$ 和 $\int\sqrt{1\pm\cos(x)}{\mathrm d}x$ 时，分别使用毕达哥拉斯定理和倍角公式
19.2.2 正切的幂
$$ \int\tan(x){\mathrm d}x=-\ln|\cos(x)|+C $$
推导：
let $t=\cos(x)$ , $\implies{\mathrm d}t=-\sin(x){\mathrm d}x$
$\int\tan(x){\mathrm d}x=-\int\frac{\mathrm{d}t}{t}=-\ln(t)+C$
二次幂的情况：使用毕达哥拉斯定理 $\tan^2(x)=\sec^2(x)-1$
更高次幂（$n\geq3$）：
let $t=\tan(x)$ , then $\implies{\mathrm d}t=\sec^2(x){\mathrm d}x$
例
计算 $\int\tan^6(x){\mathrm d}x$，由毕达哥拉斯定理得
$$ \int\tan^4(x)\sec^2(x){\mathrm d}x-\int\tan^4(x){\mathrm d}x=\int\tan^4(x)\sec^2(x){\mathrm d}x-(\int\tan^2(x)\sec^2(x){\mathrm d}x-\int\tan^2(x){\mathrm d}x) $$
19.2.3 正割的幂
$$ \int\sec(x){\mathrm d}x=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+C $$
推导（非正常思维）：$\int\sec(x)\times\frac{\sec(x)+\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}{\mathrm d}x=\int\frac{\sec^2(x)+\sec(x)\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}{\mathrm d}x$，分母的导数等于分子
二次幂的情况：$\int\sec^2(x){\mathrm d}x=\tan(x)+C$
The standard idea is to pull out $\sec^2(x)$ (which is similar to what we did with powers of $\tan(x)$) and integrate by parts,
更高次幂：基本思想是把 $\sec^2(x)$ 提出来（降 $2$ 次幂），使用分部积分法（乘法法则）$\int{u}{\mathrm d}v=uv-\int{v}{\mathrm d}u$
let $v=\tan(x)$ , then $\implies{\mathrm d}v=\sec^2(x){\mathrm d}x$
例
计算 $\int\sec^6(x){\mathrm d}x=\int\frac{\mathrm dx}{\cos^6(x)}{\mathrm dx}$
let $u=\sec^4(x)$ , then $\implies{\mathrm d}u=4\sec^4(x)\tan(x){\mathrm d}x$
……重复计算至降为一次幂或二次幂
19.2.4 余切的幂
与 $\tan$ 的幂类似
使用毕达哥拉斯定理：$\cos^2(x)=\csc^2(x)-1$
let $t=\cot(x)$ , then $\implies{\mathrm d}t=-\csc^2(x){\mathrm d}x$
19.2.5 余割的幂
与 $\sec$ 的幂类似
let $v=-\cot(x)$ , then $\implies{\mathrm d}v=\csc^2(x){\mathrm d}x$
19.2.6 递归公式
we’ll give it a name: $I_n$ (for integral number $n$).
$$ \begin{aligned} I_n&=\int\tan^n(x){\mathrm d}x=\int\tan^{n-2}(x)\tan^2(x){\mathrm d}x\ &=\int\tan^{n-2}(x)(\sec^2(x)-1){\mathrm d}x\ &=\int\tan^{n-2}(x)\sec^2(x){\mathrm d}x-\int\tan^{n-2}(x){\mathrm d}x \end{aligned} $$
let $t=\tan(x)$ , then $\implies{\mathrm d}t=\sec^2(x){\mathrm d}x$ , and $\int{t^{n-2}}{\mathrm d}t=\frac{t^{n-2}}{n-1}+C$ $$ I_n={1\over{n-1}}\tan^{n-1}(x)-I_{n-2} $$ 递归公式适用于定积分，例如计算 $\int_0^{\pi\over2}\cos^8(x){\mathrm d}x$
根据推导，有 $$ I_n=\cos^{n-1}(x)\sin(x)|0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}(n-1)\cos^{n-2}(x)\sin^2(x){\mathrm d}x=\dots=\frac{n-1}{n}I{n-2} $$
By the way, reduction formulas don’t have to involve trig functions.
$$ I_n=\int{x^n}{e^x}{\mathrm d}x={x^n}{e^x}-\int{nx^{n-1}e^x}{\mathrm d}x $$
19.3 关于三角换元法的积分
三种类型分别要求不同的换元法，一般情况下可以得到关于三角函数的幂的被积函数
19.3.1 类型1
$\sqrt{a^2-x^2}$
the correct substitution to use is $x=a\sin(\theta)$.
$$ a^2-x^2=a^2-a^2\sin^2(\theta)=a^2(1-\sin^2(\theta))=a^2-\cos^2(\theta) $$
${\mathrm d}x=a\cos(\theta){\mathrm d}\theta$
换元后原式转化对 $\theta$ 求积分的计算，最后可通过 $\theta=\sin^{-1}(x/a)$ 还原
19.3.2 类型2
$\sqrt{x^2+a^2}$
the correct substitution is $x=a\tan(\theta)$.
$$ x^2+a^2=a^2\tan^2(\theta)+a^2=a^2(\tan^2(\theta)+1)=a^2\sec^2(\theta) $$
${\mathrm d}x=a\sec^2(\theta){\mathrm d}\theta$
19.3.3 类型3
$\sqrt{x^2-a^2}$
Now the correct substitution is $x=a\sec(\theta)$,
$$ x^2-a^2=a^2\sec^2(\theta)-a^2=a^2(\sec^2(\theta)-1)=a^2\tan^2(\theta) $$
${\mathrm d}x=a\sec(\theta)\tan(\theta){\mathrm d}\theta$
提示：
- $\sec(\theta)={1\over\cos(\theta)}\implies\cos(\theta)={1\over\sec(\theta)}$
- $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$
19.3.4 配方和三角换元法
From time to time, you might want to solve an integral involving an odd power of $\sqrt{\pm{x^2} + ax + b}$. That is, you now have a linear term ax to complicate matters. The technique is simple: complete the square first and substitute to get it into one of the three types that we’ve investigated.
对含有线性因子的被积函数进行配方，再换元求积分
19.3.5 三角换元法的总结
19.3.6 三角换元法中的平方根问题
在类型 1 中，
Actually, when we write $x=a\sin(\theta)$, we really mean that $\theta=\sin^{-1}(x/a)$.
$\arcsin$ 的值域为 $[-\pi/2,\pi/2]$，$\theta$ 位于第一象限和第四象限，故有 $\cos(\theta)\geq0$
同样地，
在类型 2 中，$\theta=\tan^{-1}(x/a)$
$\arctan$ 的值域为 $(-\pi/2,\pi/2)$，有 $\sec(\theta)>0$
在类型 3 中，$\theta=\sec^{-1}(x/a)$
$\sec^{-1}$ 的值域在区间 $[0,\pi]$ 上且不为 ${\pi\over2}$，$\theta$ 位于第一象限和第二象限，故 $\tan(\theta)$ 既可能为正数，也可能为负数
三角形有两个边是“负的”，分别为 $x$ 和 $-\sqrt{x^2-a^2}$
Also, the constant $C$ is potentially different from the other $C$ which arises when $x > 0$.
考虑 $x<0$ 的积分时，计算结果中的常数 $C_2$ 与 $x>0$ 的积分中的常数 $C_1$ 不同
In practice, problems involving Type 3 are often phrased (or intended to be phrased) with the condition that $x > 0$. This allows one to avoid all the above mess and take square roots without a care in the world.
实际中，常常只考虑 $x>0$ 的情况！
19.4 求积分的技巧总结
- 换元
- 形如 $\sqrt[n]{ax+b}$，见 18.1.2，设 $t=\sqrt[n]{ax+b}$
- 有理函数：分子是否为分母导数的常数倍，见18.3，设 $t=denominator$，或者使用部分分式法计算
- 三角函数的幂的积分
- 三角换元法
- 被积函数是乘积分形式，考虑分部积分法，见 18.2
- 被积函数为 $\ln(x)$ 的幂的形式，或反三角函数形式，考虑分部积分法，设 $u$ 为 $\ln(x)$ 幂的形式或释放的反三角函数