§积分
- 求和符号（sigma notation）
- 位移与面积的关系
- 使用分区的方法求面积
15.1 求和符号
求和符号 —— sigma notation
In general, the number of integers between $A$ and $B$, including $A$ and $B$, is $B - A + 1$.
注意：$\sum\limits_{A}^{B}$ 共有 $B-A+1$ 个数求和
15.1.1 一个有用的求和
$$ S = \sum_{i=1}^{100}i = \sum_{i=1}^{100}(101-i) $$
$2S = \sum_{i=1}^{100}(i+101-i) = \sum\limits_{i=1}^{100}101$
15.1.2 伸缩求和法
伸缩级数（telescoping series）
$$ \sum_{j=a}^{b}(f(j)-f(j-1))=f(b)-f(a-1) $$
15.2 位移与面积
15.2.4 连续速度
$$ mesh=max(t_1 - t_0); (t_2 - t_1); … ; (t{n-1} - t{n-2}); (t_n - t_{n-1}) $$
Riemann sum（黎曼和）：速度曲线下的实际面积
actual area under velocity curve $= \lim\limits_{mesh \to 0}\sum\limits_{j=1}^{n}v(c_j)(t_j-t_{j-1})$
15.2.5 两种特殊的近似
lower sum $\leq$ actual area under curve $\leq$ upper sum
§定积分
- 符号面积（signed areas）与定积分
- 定义与例子
- 基本性质
- 利用定积分求无符号面积、曲线之间的面积、曲线与 y 轴之间的面积
- 估算定积分
- 平均值——定积分的中值定理
- 不可积分的函数（nonintegrable function）
16.1 基本概念
被积函数（integrand）
$$\int_{a}^{b}f(x) {\mathrm d}x$$ is the signed area (in square units) of the region between the curve $y = f(x)$, the lines $x = a$ and $x = b$, and the $x$-axis.
16.1.1 一些简单的例子
如果 $f$ 是一个奇函数，那么对任何 $a$ 都有 $\int_{-a}^af(x)\mathrm{d}x=0$
16.2 定积分的定义
$$\int_{a}^{b}f(x) {\mathrm d}x = \lim\limits_{mesh \to 0}\sum\limits_{j=1}^{n}f(c_j)(t_j-t_{j-1})$$
where $a = x_0 < x_1 < … < x_{n-1} < x_n = b$ and $c_j$ is in $[x_{j-1},x_j]$ for each $j = 1,…,n$
16.3 基本性质
if you reverse the limits of integration, you need to put in a minus sign out front.
- $\int_{a}^{b}f(x) {\mathrm d}x = -\int_{b}^{a}f(x) {\mathrm d}x$
- $\int_{a}^{a}f(x) {\mathrm d}x = 0$
- $\int_{a}^{b}f(x) {\mathrm d}x = \int_{a}^{c}f(x) {\mathrm d}x + \int_{c}^{b}f(x) {\mathrm d}x$
- $\int_{a}^{b}Cf(x) {\mathrm d}x = C\int_{a}^{b}f(x) {\mathrm d}x$
- $\int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) {\mathrm d}x = \int_{a}^{b}f(x) {\mathrm d}x + \int_{a}^{b}g(x) {\mathrm d}x$
16.4 求面积
16.4.1 求无符号面积
$\int_{a}^{b}|f(x)| {\mathrm d}x$ 或者 $\int_{a}^{b}|y| {\mathrm d}x$
- 找出 $[a,b]$ 区间内的零点（zeroes）
- 计算 $f(x)$ 的以端点（endpoints）到各零点的定积分
- 将计算的各个定积分的绝对值相加
16.4.2 求曲线之间的面积
$\int_{a}^{b}|(f(x)-g(x))| {\mathrm d}x$
注意：曲线相交
16.4.3 求曲线与竖轴之间的面积
$$\int_{A}^{B}(f^{-1}(y) {\mathrm d}y = \int_{A}^{B}x {\mathrm d}y$$
is the signed area (in square units) of the region between the curve $y = f(x)$, the lines $y = A$ and $y = B$, and the $y$-axis, if $f$ is invertible.
16.5 估算积分
如果在区间 $[a,b]$ 内，对所有 $x$ 有 $m \leq f(x) \leq M$，那么 $m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx \leq M(b-a)$
16.6 平均值和积分的中值定理
$\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx = f_{average}(b-a)$
16.6.1 积分的中值定理
积分的中值定理（Mean value theorem for integrals）：如果 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，那么在区间 $(a,b)$ 上存在 $c$ 使 $f(c) = {1 \over b-a}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm dx$
continuous function attains its average value at least once.
16.7 一个不能积分的函数
The limits, as the mesh goes to 0, for the upper and lower Riemann sums are different.
Actually, there is a way to integrate this function, but it’s called Lebesgue integration (as opposed to Riemann integration) and …
§微积分的基础定理
- 以其他函数的积分为基础的函数
- 反导数（antiderivatives）的概念
- 不定积分及其性质
- 求积分
17.1 以其他函数的积分为基础的函数
积分的上下极限为变量时，从 $t=a$ 处分解函数 $F$
$$ \begin{aligned} F(x) &= \int_{0}^{x}f(t) \mathrm dt \&= \int_{0}^{a}f(t) \mathrm dt + \int_{a}^{x}f(t) \mathrm dt \&= C + H(x) \end{aligned} $$
17.2 微积分的第一基本定理
$$ F(x)=\int_{a}^{x}f(t) \mathrm dt $$
在任何情况下，函数 $F$ 主要是由被积函数 $f(t)$ 和常数 $a$ 决定的，通过刚才的分割法可知，改变 $a$ 的值仅仅使函数值增加或减少一个常数
如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 是连续的，那么可以定义 $F$ 为 $F(x) = \int_{a}^{x}f(t) \mathrm dt$，$x$ 在区间 $[a,b]$ 内则 $F$ 在开区间 $(a,b)$ 内是可导函数，且 $F’(x)=f(x)$。
$$ F’(x) = {\mathrm d \over \mathrm dx}\int_{a}^{x}f(t) \mathrm dt = f(x) $$
17.2.1 反导数
$F(x)=\int_0^x{e^{-t^2}}\mathrm{d}t$ 是 $e^{-x^2}$ 的一个反导数（antiderivative）
17.3 微积分的第二基本定理
如果函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 是连续的，$F$ 是 $f$ 关于 $x$ 的反导数，那么有 $$ \int^b_a{f(x)}\mathrm{d}x=F(x)|^b_a=F(b)-F(a) $$
17.4 不定积分
如果 ${\mathrm{d}\over{\mathrm{d}x}}F(x)=f(x)$，那么 $\int{f(x)}\mathrm{d}x=F(x)+C$
A definite integral, like $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$, is a number. It represents the signed area of the region bounded by the curve$ y = f(x)$, the $x$-axis, and the lines $x = a$ and $x = b$. An indefinite integral, like $\int{f(x)}\mathrm{d}x$, is a family of functions. This family consists of all functions which are antiderivatives of f (with respect to $x$). The functions all differ by a constant.
- 定积分是一个数字，表示曲线与横轴在闭区间内围成的符号面积
- 不定积分是只有常数部分存在区别的函数集
不定积分的特性：如果 $f$ 和 $g$ 是可积的，$c$ 是一个常数 $$ \begin{aligned} \int(f(x)+g(x))\mathrm{d}x&=\int{f(x)}\mathrm{d}x+\int{g(x)}\mathrm{d}x \ \int{cf(x)}\mathrm{d}x&=c\int{f(x)}\mathrm{d}x \end{aligned} $$ 根据第一基本定理，积分的导数是其原始函数
注意：其中，积分的变量是其上限，而不是虚拟变量
17.5 解决问题：第一基本定理
17.5.1 变量为积分下限
互换积分上下限，并在积分前加上负号，使用第一基本定理
17.5.2 积分上限是一个函数
例如，积分上限是 $x^2$ 的情况
令积分为 $y$，使用链式法则，计算 ${\mathrm{d}y\over\mathrm{d}x}$，$y$ 是一个关于 $x^2$ 的函数，设 $u=x^2$
17.5.3 积分上下限都为函数
用一个常数把积分分为两部分，例如 $$ \begin{aligned} &{\mathrm{d}\over\mathrm{d}x}\int_{x^5}^{x^6}{f(t)}\mathrm{d}t\ =&{\mathrm{d}\over\mathrm{d}x}(\int_{x^5}^{0}{f(t)}\mathrm{d}t+\int_{0}^{x^6}{f(t)}\mathrm{d}t) \end{aligned} $$
17.5.4 极限伪装的导数
$$ \lim_{h\to0}{1 \over h}\int_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t $$
对常数 $a$，设置 $$ \begin{aligned} F(x)&=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\ F(x+h)-F(x)&=\int_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t\ \end{aligned} $$ 所以 $$ \lim_{h\to0}{1 \over h}\int_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=F’(x) $$
17.6 解决问题：第二基本定理
17.6.1 计算不定积分
$$ \begin{aligned} \int{x^a}\mathrm{d}x&=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C \ \int{1 \over x}\mathrm{d}x&=\ln|x|+C \end{aligned} $$
whenever you know a derivative, you get an antiderivative for free.
只要知道一个函数的导函数，一定会指导这个导函数的反导数
17.6.2 计算定积分
17.6.3 非代数和面积与绝对值
无符号面积（非代数和面积）——不考虑坐标轴上下面积的正负
函数图像围成的面积：用上边的函数减下边的函数，并求积分
17.7 技术观点
$$ \int{1\over x}\mathrm{d}x= \begin{cases} \ln|x|+C_1,x<0\ \ln|x|+C_2,x>0\ \end{cases} $$
想象 $y=\ln|x|$ 函数图像在 $y$ 轴左右可以上下移动，其导函数不变