§最优化和线性化
- 最优化（optimization）
- 线性近似（linearization）
- 估算函数的零点
- 牛顿法（Newton’s method）
13.1 最优化
- Identify all the variables you might possibly need. One of them should be the quantity you want to maximize or minimize - make sure you know which one! Let’s call it $Q$ for now, although of course it might be another letter like $P$, $m$, or $\alpha$.
- Get a feel for the extremes of the situation, seeing how far you can push your variables. (For example, in the problem from the previous section, we saw that $x$ had to be between $2$ and $8$.)
- Write down equations relating the variables. One of them should be an equation for $Q$.
- Try to make $Q$ a function of only one variable, using all your equations to eliminate the other variables.
- Differentiate $Q$ with respect to that variable, then find the critical points; remember, these occur where the derivative is $0$ or the derivative doesn’t exist.
- Find the values of $Q$ at all the critical points and at the endpoints. Pick out the maximum and minimum values. As a verification, use a table of signs or the sign of the second derivative to classify the critical points.
- Write out a summary of what you’ve found, identifying the variables in words rather than symbols (wherever possible).
- 考虑所有可能需要的变量
- 确认极端变量的可能
- 写出不同变量的方程
- 构建单变量函数
- 求导，计算临界点
- 计算临界点及端点的函数值，使用一阶或二阶导数判断最大值和最小值
- 结论
注意：构建单变量函数时，有时候可以通过隐函数求导
13.2 线性化
13.2.1 一般的线性化
通过切线方程计算近似值：
$$ y-f(a)=f’(a)(x-a) \implies y=L(x)=f’(a)(x-a)+f(a) $$
The linear function $L$ is called the linearization of f at $x = a$.
13.2.2 微分
$$ f(a + \Delta x) = L(a + \Delta x) \cong f(a) + f’(a)\Delta x $$
The quantity $df$ is called the differential of $f$ at $x = a$.
$$ df = f’(a)\Delta x $$
13.2.3 线性近似
13.2.4 误差
So, set $r(x) = f(x) - L(x)$; where $r(x)$ is the error in using the linearization at $x = a$ in order to estimate $f(x)$.
根据中值定理，对介于 $x$ 和 $a$ 之间的 $c$，存在
$$ r(x)={1\over 2} f’’(c)(x-a)^2 $$
if $f’’$ is positive between $a$ and $x$, then using the linearization leads to an underestimate; if $f’’$ is negative between $a$ and $x$, then using the linearization leads to an overestimate.
通过二阶导数的符号可以判断线性近似的相对大小
$$ |error|={1\over 2} |f’’(c)||x-a|^2 $$
若二阶导数 $f’’$ 存在最大值 $M$，那么
$$ |error|\leq{1\over 2} M|x-a|^2 $$
误差大小与 $x$ 和 $a$ 的相对大小有关
13.3 牛顿法
假设 $a$ 是 $f(x) = 0$ 的一个近似解，若 $b = a - {f(a) \over f’(a)}$，那么 $b$ 在很多情况下是一个更优的近似解
每次使用牛顿法，可以获得一个更优的近似解
注意：牛顿法不适用的情况
- $f’(a)$ 的值接近于 $0$：切线平缓，使 $x$ 轴截距与近似解 $a$ 距离较远
- 如果 $f(x)=0$ 有多个解，可能无法得到想要的近似解（使用牛顿法时，最好保证区间内只有一个零点）
- 近似值可能越来越糟糕。如对函数 $f(x)=x^{1/3}$ 使用牛顿法估算近似的零点，$b = a-{f(a) \over f’(a)} = -2a$。只有取 $a=0$ （正确的零点）时估算正确，否则近似值离正确值越来越远
- 陷入循环：在 $x=a$ 处的线性化有 $x$ 轴截距 $x=b$，在 $x=b$ 处的线性化有 $x$ 轴截距 $x=a$
§洛必达法则
- 洛必达法则（L’Hopital’s Rule）及在 4 种极限类型的应用
- 计算极限
14.1 洛必达法则
极限的 4 种情况
-
$\lim\limits_{x\to a}{f(x) \over g(x)}$
-
$\lim\limits_{x\to a}(f(x) - g(x))$
-
$\lim\limits_{x\to a}{f(x)g(x)}$
-
$\lim\limits_{x\to a}{f(x)}^{g(x)}$
类型 A1：$0/0$ 型
$\lim\limits_{x\to a}{f(x) \over g(x)}$ 中，函数 $f$ 和 $g$ 可微
当 $g(a) \neq 0$ 时，可以直接使用代入法计算极限（分母不为 $0$）；
当 $g(a) = 0$，$f(a) \neq 0$时，$x = a$ 处存在垂直渐近线：极限为 $\infty$ 或 $-\infty$，或者 DNE；
当 $f(a) = 0$ 和 $g(a) = 0$ 时（不定式型），
In fact, every derivative is of this form
在 $x=a$ 处函数可以通过线性化估算函数值（假设此处为两个函数的零点）
$\implies f(x) \cong f’(a)(x-a)$ 和 $g(x) \cong g’(a)(x-a)$
假设 $x \neq a$，两式相除
$\implies {f(x) \over g(x)} \cong \frac{f’(a)(x-a)}{g’(a)(x-a)}={f’(a) \over g’(a)}$
洛必达法则（1）：如果 $f(a) = 0$ 和 $g(a) = 0$，那么 $\lim\limits_{x\to a}{f(x) \over g(x)}=\lim\limits_{x\to a}{f’(x) \over g’(x)}$
注意：$x$ 趋近于，但不等于 $a$ 时，$g’(x)$ 不为 $0$
类型 A2：$\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ 型
$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \infty$ 和 $\lim\limits_{x \to a}g(x) = \infty$
如，$\lim\limits_{x \to 0^+}\frac{csc(x)}{1-\ln x} = \infty$
注意：当 $x \to \infty$ 时，分式满足不定式时，洛必达法则也适用
多次使用洛必达法则，使$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x}$ 的分子为常数，易证 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x}=0$
类型 A 使用洛必达法则时，不要使用商的求导法则（Don’t use the quotient rule）
类型 B1：$\infty - \infty$
$(\infty - \infty)$ 的极限：仅当通过通分或同时乘上除以一个共轭表达式，转化为 $0/0$ 或 $\infty / \infty$ 的分式型（类型 A）不定式时，洛必达法则适用
类型 B2：$0\times\pm\infty$
$(0 - \infty)$ 的极限：通过把某一项移动到分母，处理分母使极限转化为类型 A
如，$\lim\limits_{x \to 0^+}x \ln x = \lim\limits_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/x}$
注意：应选择合适的因子移动到分母，否则可能出现更复杂的极限
类型 C：$1^{\pm\infty}$, $0^0$ 或 $\infty^0$
对数函数求导法则的应用（见9.5）
$0^0$ 的极限：如$\lim\limits_{x \to 0^+}x^{\ln (x)}$，先取对数再转化为类型 B 或 A，最后对两边同时求指数
if you have any limit involving exponentials, you can always use the above logarithmic method to convert everything to a product or quotient, then work out the new limit $L$. The actual limit will just be $e^L$. The only exceptions are that if $L = \infty$, then you have to interpret $e^{\infty}$ as $\infty$; and if $L = -\infty$, then you need to recognize $e^{-\infty}$ as $0$.
注意：任何指数型函数（指数和底数都含有变量），使用过取对数方法转化为新的极限问题时，只有当新极限为 $\infty$ 时，需要考虑 $\lim\limits_{x\to +\infty}e^x=\infty$ 和 $\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=0$
14.2 极限的总结
$\lim\limits_{x \to a}F(x)$
where $F$ is a function which is at least continuous for $x$ near $a$, but maybe not at $x = a$ itself. Also, a could be $\infty$ or $-\infty$.
注意：函数上 $x$ 在 $a$ 附近连续（即使 $x=a$ 不存在）
- 首先尝试使用替代法
- $b/\infty$ 或 $b/-\infty$，极限为 $0$
- $b/0$ ，函数有垂直渐近线， 极限为 $\infty$ 或 $-\infty$，双侧极限可能不存在
- $0/0$ 的不定式，可能为导数定义的形式，也可以用洛必达法则
- 极限有根号，考虑分母有理化或者分子有理化（乘上共轭表达式）
- 函数有绝对值，去掉绝对值符号使其转化为分段函数
- 利用不同函数的特性
（一）多项式型函数：最高次项
（二）三角函数和反三角函数
- 结合图像
- 当 $A$ 很小，$\sin(x)$ 和 $\tan(x)$ 和 $A$ 有相近的值（可以乘上或者除以 $A$，见7.1.2）
- $|\sin(anything) \leq 1|$ 和 $|\cos(anything) \leq 1|$
- $\lim\limits_{x \to \infty}\tan^{-1}(x) = {\pi}/2$ 和 $\lim\limits_{x \to -\infty}\tan^{-1}(x) = -{\pi}/2$
（三）指数函数
- $\lim\limits_{h \to 0}(1+hx)^{1/h} = \lim\limits_{x \to \infty}(1+{x \over n})^n = e^x$
- 求极限时，$e^{small} = 1$
- $\lim\limits_{x \to \infty}{poly \over e^x} = 0$
（四）对数函数
- $\lim\limits_{x \to 0+}x^a \ln (x) = 0 , a>0$
- $\lim\limits_{x \to \infty}{\ln(x) \over poly} = 0$
- $\ln(1)=0$