§函数、图像与直线
- 函数，定义域（domain）、上域（codomain）、值域（range）和垂直线检验
- 反函数和水平线检验
- 复合函数
- 奇偶性
- 函数图像
- 绝对值处理
1.1 函数
it’s technically not correct to say “$f(x)$ is a function”; it should be “$f$ is a function.”
$f$ 是一个函数 （√）
$f(x)$ 是一个函数（×）
a function must assign a unique output for each valid input.
函数：每一个有效输入指定唯一的输出（一一对应）
The codomain is a set of possible outputs, while the range is the set of actual outputs.
设 $f$ 是从始集 $X$ 到终集 $Y$ 的关系，$f$ 的定义域 $D(G)$ 为 $X$，且对任何 $x \in X$ 都有惟一的 $y\in Y$ 满足 $f(x,y)$，则称 $f$ 为 $X \to Y$ 的映射
上域（codomain），又称陪域、到达域：可能输出的集合（$Y$）。通常为实数 $\Bbb{R}$
值域（range）：实际输出的集合（$Range \subset Codomain$, namely $Y \subset\Bbb{R}$）
1.1.1 区间
区间（interval）
1.1.2 定义域的确定
- The denominator of a fraction can’t be zero.
- You can’t take the square root (or fourth root, sixth root, and so on) of a negative number.
- You can’t take the logarithm of a negative number or of $0$.
- 分母不为零（$denominator \neq 0$），如 $\tan(90°)$
- 根号下不能为负数（$\sqrt{something \geq 0}$）
- 对数不能为负数或零（$\log{a}X, a > 0$）
1.1.3 利用图像求值域
水平射影
1.1.4 垂直线检验
每一个有效输入对应指定的唯一的输出
1.2 反函数
- Start with a function $f$ such that for any $y$ in the range of $f$, there is exactly one number $x$ such that $f(x) = y$. That is, different inputs give different outputs. Now we will define the inverse function $f^{-1}$.
- The domain of $f^{-1}$ is the same as the range of $f$.
- The range of $f^{-1}$ is the same as the domain of $f$.
- The value of $f^{-1}(y)$ is the number $x$ such that $f(x) = y$.
定义：$g = f^{-1}$
- $f$ 的值域中任意 $y$，只有唯一的 $x$值（水平线检验）
- $g$ 的定义域和 $f$ 值域相同
- $f$ 的定义域和 $g$ 的值域相同
- if $f(x) = y$, then $g(y) = x$
1.2.1 水平线检验
是否存在反函数？
垂直线检验：每个有效输入$x$ 对应指定的唯一输出 $y$ ，类似的，
水平线检验：每个有效输入 $y$（input of $g$）对应指定的唯一输出 $x$（output of $g$），即判断 $g$ 是否符合函数的性质
1.2.2 求反函数
如何获得反函数 —— 函数图像关于直线 $y = x$ 对称
1.2.3 限制定义域
不符合水平线检验的函数，通过限制定义域的大小（Restricting the domain），使其存在对应的反函数
1.2.4 反函数的反函数
If the domain of a function $f$ can be restricted so that $f$ has an inverse $f ^{-1}$ then
- $f(f^{-1}(y)) = y$ for all y in the range of $f$; but
- $f^{-1}(f(x))$ may not equal $x$; in fact, $f^{-1}(f(x)) = x$ only when $x$ is in the restricted domain.
-
$f(f^{-1}(y)) = y$（√）
-
$f^{-1}(f(x)) = x$（不一定）
注意：当函数 $f$ 的限制定义域，使反函数 $f^{-1}$ 存在，当且仅当，$x$ 在限制的定义域中时，等式 2 成立。如
$f(x) = x^2(x > 0)$，有反函数 $f^{-1}$，$f^{-1}(x) = \sqrt{x}$，则有 $f^{-1}(f(x)) = \sqrt{x^2}$
考虑 $f^{-1}(f(x)) = x$ 是否成立？当 $x = -2$ 时，$\sqrt{x^2} = 2$，即 $f^{-1}(f(x)) ≠ x$
实际上，在限制定义域 $x > 0$ 内，$x = -2$ 不再属于函数 $f$ 的定义域，即无法计算 $f(-2)$，而代数式$\sqrt{x^2}$ 不涉及定义域的问题。即，代数式 $\sqrt{x^2} \neq f^{-1}(f(x))$
1.3 复合函数
$f(x) = m(k(j(h(g(x)))))$
$f = m\circ{k}\circ{j}\circ{h}\circ{g}$
composition of functions isn’t the same thing as multiplying them together
注意：函数的复合 ≠ 函数的相乘
1.4 奇偶性
具有对称性（symmetry properties）的函数
奇函数（odd function）：$f(-x) = -f(x)$，图像关于原点对称（has 180° point symmetry about the origin）
偶函数（even function）：$f(-x) = f(x)$，图像关于 $y$ 轴对称（has mirror symmetry about the y-axis）
if a function $f$ is odd, and the number $0$ is in its domain, then $f(0) = 0$. … odd functions must pass through the origin if they are defined at $0$.
如果 $x = 0$ 在奇函数的定义域中，则奇函数的图像必过原点 $(0,0)$
1.5 函数图像
1.5.1 线性函数
略
1.5.2 多项式函数
多项式（Polynomials）图像的判断，4 种可能性
leading coefficient $a_n$ → 最大值的正负
- $a_n > 0$ ：
- $a_n < 0$ ：
highest degree $n$ → 奇偶对称性
- $n$ is odd ：
- $n$ is even ：
1.5.3 常见函数
- 有理函数（Rational functions）
- 指数函数和对数函数
- 三角函数
- 绝对值函数及其图像
§三角函数
- 三角函数的基本知识：弧度等
- 实数轴上的三角函数
- 三角函数图像
- 三角恒等式
2.1 基本知识
- The Basics：弧度（radians）、对边（opposite）、邻边（adjacent）、斜边（hypotenuse）
- Trig functions：正弦（sine）、余弦（cosine）、正切（tangent）
- Reciprocal functions：余割（csc）、正割（sec）、余切（cotangent）
| $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | - |
2.2 扩展三角函数的定义域
参考角（reference angle）
2.2.1 ASTC 方法
添加负号的判断方法（decide whether or not you need a minus sign）：
- 象限Ⅰ：A（which stands for “All the three main Trig functions are positive”）
- 象限Ⅱ：S stands for “sine”
- 象限Ⅲ：T stands for"tangent"
- 象限Ⅳ：C stands for “cosine”
2.2.2 实数轴上的三角函数
$[0,2\pi]$ 以外的三角函数值
三角函数的周期：
- $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 的周期为 $2\pi$
- $\tan(x)$ 周期为 $\pi$
2.3 三角函数的图像
$\sin(x)$ 是奇函数，故 $\csc(x)$ 也是奇函数
$\cos(x)$ 是偶函数，故 $\sec(x)$ 也是偶函数
2.4 三角恒等式
毕达哥拉斯定理（Pythagoras’ Theorem）
- $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
- $1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$
- $\cot^2(x) + 1 = \csc^2(x)$
诱导公式
$$ \mathrm{trig function}(x) = \mathrm{co-trig function}({\pi\over2} - x) $$
两角之和
$$ \begin{aligned} \sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) \ \cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B) \end{aligned} $$
二倍角公式
$$ \begin{aligned} \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x) \end{aligned} $$
§极限
- 极限的基本思想
- 左、右与双侧极限（left-hand, right-hand, and two-sided limits）
- 极限不存在
- 夹逼定理（the sandwich principle, also known as the squeeze principle）
3.1 极限的基本思想
虚拟变量（dummy variable）
… the left-hand side isn’t actually a function of $x$. ……We could actually replace $x$ by any other letter and this would still be true.
3.2 左右极限
左极限（Left-Hand Limit）：$\lim\limits_{x \to a^+}f(x) = C$
右极限（Right-Hand Limit）：$\lim\limits_{x \to a^-}f(x) = C$
the regular two-sided limit at $x = a$ exists exactly when both left-hand and right-hand limits at $x = a$ exist and are equal to each other.
双侧极限：$\lim\limits_{x\to a}f(x) = C$
3.3 极限不存在
If the left-hand and right-hand limits are not equal, as in the case of our function h from above, then the two-sided limit does not exist.
When the Limit DNE（does not exist）—— the left-hand and right-hand limits are different.
垂直渐近线（vertical asymptote）：函数 $f$ 在 $x=a$ 处的左右极限至少有一个为 $\infty$ 或 $-\infty$ 时，$f$ 在 $x = a$ 处有一条垂直渐近线
左右极限不存在的情况：$g(x) = \sin(1/x)$（定义域 $x \neq 0$，在 $x = 0$ 附近振荡频率极高），$\lim\limits_{x\to 0^+}\sin({1 \over x})$ 不存在（DNE）
3.4 在正负无穷处的极限
水平渐近线（horizontal asymptote）：
$f$ has a right-hand horizontal asymptote at $y = L$ means that $\lim\limits_{x\to \infty}f(x) = L$ $f$ has a left-hand horizontal asymptote at $y = M$ means that $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = M$
$\lim\limits_{x\to \infty}\sin(x)$ 不存在（DNE）
$\lim\limits_{x\to \infty}\sin(\frac{1}{x}) = 0$
3.4.1 大数和小数
A number is large if its absolute value is a really big number. A number is small if it is really close to 0 (but not actually equal to 0).
3.5 渐近线的常见误解
First, a function doesn’t have to have the same horizontal asymptote on the left as on the right.
- 函数的左右两边的水平渐近线不一定相同（可以有不同的水平渐近线）
$y = \arctan(x)$ 的图像在 $y = \pi/2$ 处有一条右侧的水平渐近线，在 $y = -\pi/2$ 处有一条左侧的水平渐近线
- 函数与其渐近线相交
$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin(x)}{x} = 0$ ，因为
$y = \frac{\sin(x)}{x}$ 的图像在 $y = -\frac{1}{x}$ 和 $y = \frac{1}{x}$ 之间振荡（form what’s called the envelope of the sine wave），$\frac{\sin(x)}{x}$ 与 $\sin(x)$ 有相同的零点（除了 $x = 0$）。$y = \frac{\sin(x)}{x}$ 的图像与渐近线 $y = 0$（$x$ 轴）相交（√）
3.6 夹逼定理
if a function $f$ is sandwiched between two functions $g$ and $h$ that converge to the same limit $L$ as $x \to a$, then $f$ also converges to $L$ as $x \to a$.
夹逼定理（squeeze principle）：对于 $a$ 附近的 $x$，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，当 $x \to a$，三个函数有相同的极限。适用于下列情况：
3.6.1 单侧极限
如 $\lim\limits_{x\to 0^+}x\sin(\frac{1}{x}) = 0$ 因子 $x$（确定包络线，类似于3.5中 $\frac{\sin(x)}{x}$ 的 $\frac{1}{x}$）使 $y = x\sin(\frac{1}{x})$ 的图像在包络线（the upper/lower envelope line）$y = -x$ 和 $y = x$ 之间振荡
sine of any number (in our case, $\frac{1}{x}$) is between $-1$ and $1$.
对于 $x > 0$，有 $-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$，
$-x \leq x\sin(\frac{1}{x}) \leq x$，根据夹逼定理，$x \to 0^+$ 时，$x\sin(1/x)$ 的极限为 $0$
3.6.2 无穷处的极限
如 $\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin(x)}{x} = 0$
证明
略
3.7 极限的基本类型
- 在 $x = a$ 处的左极限
- 在 $x = a$ 处的右极限
- 在 $x = a$ 处的双侧极限
- 在 $x \to +\infty$ 处的极限
- 在 $x \to -\infty$ 处的极限
§求极限
the techniques for dealing with $x \to \infty$ and $x \to a$ (for some finite $a$) are completely different.
4.1 $x to a$ 处的极限
4.1.1 有理函数
Rational Functions ——“plugging-in” method
注意：出现 $\frac{0}{0}$ 的不定式（indeterminate form）时，极限可能的情况为：
- 极限是有限的
- 极限为 $\infty$ 或 $-\infty$
- 极限不存在
因此需要借助因式分解（factoring）。
多项式的因式分解：平方差公式、立方差公式（如下式）
$$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $$
分母为 $0$，分子不为 $0$ 时，极限可能有 2 种情况（$x = a$ 是有理函数图像的一条垂直渐近线）：
-
$f(x)$ 在 $x = a$ 两侧的符号相反，极限不存在（DNE）
双侧极限不存在，但单侧极限可为 $\infty$ 或 $-\infty$，如 $\lim\limits_{x\to 1}\frac{2x^2-x-6}{x(x-1)^3}$ DNE
-
$f(x)$ 在 $x = a$ 两侧的符号相同，极限为 $\infty$ 或 $-\infty$
4.1.2 平方根
共轭表达式（conjugate expression）
注意：不适用于 $n$ 次方根
4.1.3 绝对值
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$ DNE.
函数在 $x = 0$ 处不平滑
4.2 $x \to \infty$ 处的极限
4.2.1 有理函数
when $x$ is large, the leading term dominates
$$\lim_{x\to \infty}\frac{P(x)}{P_L(x)} = 1$$
“the limit of the sum is equal to the sum of the limits”; this is true when all the limits are finite.
当极限是有限的时（“不为 $\infty$ 或 $-\infty$”），和的极限等于极限的和
$$ \lim_{x\to a}{f(x)+g(x)} = \lim\limits_{x\to a}f(x) + \lim_{x\to a}g(x) $$
极限与常数：函数的常数倍的极限
$$ \lim_{x\to \infty}Cf(x) = C\lim_{x\to \infty}f(x) $$
（$C$ is a constant.）
$$ \lim_{x\to \infty}\frac{C}{x^n} = 0 $$
（$x \to -\infty$ 时，等式也成立）
方法与总结
有理函数的多项式多于一项时，$\frac{p(x)}{p_L(x)} \times p_L(x)$ 处理得到极限为 $1$ 的分式（$x \to \infty$），以及表达式相对简单的首项 $p_L(x)$
In general, here’s what we can say considering the limit of rational functions when $x \to \infty$ where p and q are polynomials $\frac{p(x)}{q(x)}$ (All this is also true when $x \to \infty$):
- If the degree of $p$ equals the degree of $q$, the limit is finite and nonzero.
- If the degree of $p$ is greater than the degree of $q$, the limit is $1$ or $-1$.
- If the degree of $p$ is less than the degree of $q$, the limit is $0$.
- 次数相等，极限有限且非零
- $p$ 的次数大于 $q$ 的次数，极限为 $\infty$ 或 $-\infty$
- $p$ 的次数小于 $q$ 的次数，极限为零
$x \to -\infty$ 时，应注意最后取极限的时候，极限值的正负
if $x < 0$ and you want to write $\sqrt[n]{x^y} = x^m$, the only time you need a minus sign in front of $x^m$ is when $n$ is even and m is odd.
如果 $x < 0$， $\sqrt[n]{x^y} = x^m$ 中，当且仅当 $n$ 为偶数，$m$ 为奇数时，$x^m$ 之前需要添加负号
4.2.2 多项式型函数
多项式型函数（poly-type functions）
- 情况一：根式下计算得到首项
- 情况二：首项在根式外
- 情况三：根式下计算得到的最高次项与根式外的项有相同的次数
注意：不能简单的消去最高次项，应该通过共轭表达式对分式进行处理获得首项
§连续性与可导性
- 点或区间上连续
- 连续函数
- 中值定理
- 连续函数的最大值和最小值
- 位移、平均速度和瞬时速度
- 切线和导数
- 高阶导
- 连续性和可导性的关系
5.1 连续性
5.1.1 在一点处连续
A function $f$ is continuous at $x = a$ if $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$
- The two-sided limit of $f(x)$ when $x\to a$ exists (and is finite).
- The function is defined at $x = a$; that is, $f(a$) exists (and is finite).
- The two above quantities are equal.
定义：
$$ \lim_{x\to a}f(x) = f(a) $$
- 双侧极限存在且有限
- $f(a)$ 存在且有限*
- 两者相等
在 $x = a$ 不连续的函数图像，即函数在点 $x = a$ 有不连续点（discontinuity）
5.1.2 在一个区间上连续
开区间上连续：不需要在端点上连续。如 $y = 1/x$ 在区间 $(0,\infty)$ 上连续，$f(0)$ 无定义
闭区间上连续：双侧极限不存在，端点处只有左/右极限之一
- the function $f$ is continuous at every point in $(a,b)$;
- the function $f$ is right-continuous at $x = a$. That is, $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$ exists (and is finite), $f(a)$ exists, and these two quantities are equal; and
- the function $f$ is left-continuous at $x = b$. That is, $\lim\limits_{x\to b^-}f(x)$ exists (and is finite), $f(b)$ exists, and these two quantities are equal.
- 函数 $f$ 在 $(a,b)$ 上连续
- 右极限存在且有限，与端点函数值相等
- 左极限存在且有限，与端点函数值相等
即，定义域为闭区间的连续函数，需要具有单侧连续性
5.1.3 常见的连续函数及性质
a constant multiple of a continuous function is continuous; also, if you add, subtract, multiply or take the composition of two continuous functions, you get another continuous function
- 常数倍的连续函数也是连续的
- 连续函数做简单的四则运算和复合，会得到另外一个连续函数（除法运算时，注意分母为 $0$ 的点，如 $y = 1/x$ 除了 $x = 0$ 之外，该函数各处连续）
常见的连续函数：
- 多项式函数
- 指数函数和对数函数
- 三角函数（除了在它们的渐近线上）
This is where continuity comes in: it connects the “near” with the “at”.
利用连续性，可以证明有理函数在 $x\to a$ 处的极限能通过代入法计算：除了分母为零的点外，函数处处连续；根据连续的定义，有等式 $\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)$ 成立
5.1.4 介值定理
Intermediate Value Theorem: if $f$ is continuous on $[a,b]$, and $f(a) < 0$ and $f(b) > 0$, then there is at least one number $c$ in the interval $(a,b)$ such that $f(c) = 0$. The same is true if instead $f(a) > 0$ and $f(b) < 0$.
介值定理（Intermediate Value Theorem）：函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上，有 $f(a)$ 和 $f(b)$ 符号各异时，则开区间 $(a,b)$ 上必有 $f(c) = 0$。（函数图像至少有一个 $x$ 轴截距）
例
证明 $x = \cos(x)$ 至少有一个解
- $y = x$ 和 $y = \cos(x)$ 的图像至少有一个交点
- 设 $f(x) = x - \cos(x)$，证明存在 $c$ 使 $f(c) = 0$（注意选取合适的区间）
5.1.5 一个困难的例子
证明任意的奇数次多项式至少有一个根
$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{p(x)}{a_Lx^n} = 1$，$p(x)$ 是多项式函数，且和 $a_Lx^n$ 的符号相同，$n$ 为奇数
对一个大数 $A < 0$，和一个大数 $B > 0$，比较 $a_LA^n$ 和 $a_LB^n$ 符号
若 $a_L > 0$，显然 $a_LA^n < 0$，而 $a_LB^n > 0$
即，$p(A) < 0$，而 $p(B) > 0$，故必有 $p(C)=0$
5.1.6 连续函数的最大值和最小值
Max-Min Theorem: if $f$ is continuous on $[a,b]$, then $f$ has at least one maximum and one minimum on $[a,b]$.
最大值和最小值定理：在闭区间处连续的函数至少有一个最大值和一个最小值（可以有多个）
注意：开区间上连续的函数不一定有最大值和最小值（函数在端点处的极限并不是一个确定的数）
5.2 可微分性
可微分性（differentiability）—— 关于平滑（degree of smoothness）的性质
- 速率（speed）和速度（velocity）
- 路程（distance）与位移（displacement）
- 平均速度（average velocity）和瞬时速度（instantaneous velocity）
$f(t)$ 为 $t$ 时刻的位置
瞬时速度（instantaneous velocity）： $\lim\limits_{u\to t}\frac{f(u)-f(t)}{u-t}$ 或 $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}$
从 $f(t)-t$ 的图像上看，斜率（slope）为平均速度（average velocity） ：
$$ \frac{f(u)-f(t)}{u-t} $$
瞬时速度为函数图像在点 $(t,f(t))$ 处的切线斜率（slope of the tangent line）
The tangent line doesn’t have to intersect the curve only once
注意：切线可以与函数图像相交于切点以外的其他位置
5.2.1 导数
That is, the slope of the tangent line depends on which value of $x$ you start with.
This function is called the derivative of $f$ and is written as $f’$. We say that we have differentiated the function $f$ with respect to its variable $x$ to get the function $f’$.
函数 $f$ 微分（differentiate），得到 $f$ 的导数（derivative）——斜率的函数（取决于 $x$）
$$ f’(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
注意：极限 DNE 时，$x$ 不在导函数 $f’$ 的定义域内，函数 $f$ 在 $x$ 处不可微
$$ f’(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} $$
The reason is that $f’(x)$ isn’t actually equal to the ratio of $\Delta y$ to $\Delta x$: it’s equal to the limit of that ratio as $\Delta x$ tends to $0$.
the quantity $\frac{dy}{dx}$ is not actually a fraction at all..
5.2.2 线性函数的微分
.. $f’(x) = m$ regardless of what $x$ is. That is, the derivative of a linear function is constant. As you might expect, only linear functions have constant slope (this is a consequence of the so-called Mean Value Theorem; see Section 11.3.1 in Chapter 11).
中值定理（见11.3.1）
5.2.3 高阶导数
函数 $f(x) = y$ 的二阶导数表示为：
$$ f’’(x) = f^{(2)}(x) = {\mathrm {d}^2y\over\mathrm {d}x^2} $$
高阶导数均可用符号 $f^{(n)}(x)$ 表示
5.2.4 导数不存在
…the graph of $f(x) = |x|$ has a sharp corner at the origin. This should mean that the derivative doesn’t exist at $x = 0$.
$f(x) = |x|$ 在原点处导数不存在（不平滑）
- $f’(0) = \lim\limits_{h\to 0} = \frac{|h|}{h}$，DNE
- 当 $x > 1$ 时，$f’(x) = 1$；当 $x < 1$ 时，$f’(x) = -1$，原点左右斜率不相等（the left-hand slope doesn’t equal the right-hand slope）
5.3 连续性与可导性的联系
if a function $f$ is differentiable at $x$, then it’s continuous at $x$.
可导必连续，证明
假设函数可导，则 $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ 存在
$$ \begin{aligned} \lim_{h\to 0}(\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\times h) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\times \lim_{h\to 0}h \ &= f’(x) \times 0 \&= 0 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \lim_{h\to 0}(\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\times h) &= \lim\limits_{h\to 0}(f(x + h) - f(x)) \ &= \lim\limits_{h\to 0}f(x + h) - f(x) \ &= 0 \end{aligned} $$
所以，$\lim\limits_{h\to 0}f(x + h) = f(x)$
令 $h = a - x$，有 $\lim\limits_{a\to x}f(a) = f(x)$（函数在 $x$ 处连续）