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ゲームのリズム

Mon, 19 Jun 2023 00:00:00 +0000

以前、二つのABM（エージェント・ベース・モデル）を作った。格子状のエージェントたちがランダムにペアを組み、一回ゲームをプレイし、アクションを更新する。唯一の変数は「何を見るか」——このステップの利得か、それとも過去の全ゲームの累積利得か。微分方程式は私には解けない（平均場近似は文献の引き写しだ）。しかしODEの階数くらいは見分けがつく。一方は一階、もう一方は二階。速度と加速度。記憶なしと慣性あり。ミクロの設定は、ほんのわずかな違いでしかない。

だが、この二つのモデルには暗黙の前提があった。利得行列は一枚岩だ、と。囚人のジレンマは常に囚人のジレンマ。タカ-ハト・ゲームは常にタカ-ハト・ゲーム。

草は痛まない。

Weitz et al.（2016）は草に命を吹き込んだ。戦略が環境を変え、環境が利得構造を書き換え、利得構造が戦略を再形成する。ループが閉じたとき、システムは呼吸を始める。

私がやりたいのはもっと単純なことだ。環境に連続的なフィードバック経路を与えるのではなく、格子にリズムを与えるだけだ。

格子にリズムを

もともとのABMに資源状態変数を追加する。初期値は $A$。各ステップ、エージェントたちは格子上でゲームを行い、1単位の資源を消費する。資源は $A$ から $0$ まで下がり、決まったステップ数の後にまた $A$ にリセットされる。

$b=1$ とし、資源量 $a \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ とする。利得行列は：

$$ \begin{matrix} & C & D \\\\ \hline C & a/2 & 0 \\\\ D & a & (a-1)/2 \end{matrix} $$

最初は $a=4 \implies \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 1.5 \end{pmatrix}$

純粋な囚人のジレンマだ。$D$ が $C$ を厳密に支配する——相手が何を選ぼうと、裏切りは協力より儲かる。レプリケーターダイナミクスが告げる——さあ、裏切り者を放て。全マスが陥落する。

$a=2 \implies \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0.5 \end{pmatrix}$

進化の速度と慣性

Sat, 04 Feb 2023 00:00:00 +0000

私は進化ゲーム理論の数学を理解しているわけではない。Replicator Dynamics も、自分にとっては単なる用語にすぎない。しかし、コンピュータ・シミュレーションならわかる。Agent-Based Model（ABM）こそが私の言語である。

いま、$n \times n$ のグリッド上に、グリッド数×人口密度のぶんだけエージェントを生成する。各ステップでエージェントはひとつの行動（action）を持ってグリッド上を動き、Von Neumann 近傍で別のエージェントを見つけてペアを作り、古典的なゲームを一局こなし、そのあと行動を更新して次のステップに進む。全エージェントが同じルールで行動を更新する。以上がモデルの基本要素である。

ここで、ひとつの決定的な変数を考えよう。エージェントは何にもとづいて行動を更新するのか。

一、このステップの利得 $P_1$ を隣人と比較し、次のステップでは $P_1$ の高い行動に変わる。

二、過去すべてのゲームの利得 $P_2$ を隣人と比較し、次のステップでは $P_2$ の高い行動に変わる。

ミクロな設定レベルでは、「現在を見る」か「歴史を見る」かの違いにすぎない。しかしこの二つのモデルを数学で記述しようとすると、両者はまったく異なる物理的ダイナミクス——一次系と二次系、速度と加速度——に対応していることが見えてきた。

以下、この導出を一段階ずつ進めていく。

コードから方程式へ：平均場近似

コンピュータ・シミュレーションの世界には $n \times n$ のグリッドがあり、エージェントはその上を歩きまわり、隣人を探す。数学者はここで「手抜き」だが極めて強力な仮定を置く——平均場近似（Mean-Field Approximation）：グリッドは無限大で、全員が気体分子のように完全に混合しており、ランダムに出会う、と仮定するのである。

これは何を意味するか。いま、全グリッド上で割合 $x$ の人々が戦略 $A$ を、割合 $1-x$ の人々が戦略 $B$ を採用しているとしよう。微小な時間幅 $\Delta t$ のあいだに、ランダムに一人のエージェントを選び出す。そのエージェントが戦略 $B$ である確率は $1-x$ である。そして、そのエージェントがたまたま戦略 $A$ の隣人に出会う確率は $x$ である。つまり、「$B$ が $A$ に出会う」という事象の同時確率は $x(1-x)$ になる。

$B$ が $A$ に出会ったあと、$A$ に変わるかどうか。我々のルールでは、比較するのは利得である。戦略切り替えの確率は両者の利得差に比例すると仮定しよう。つまり $\pi_A > \pi_B$ ならば、$B$ が $A$ に変わる確率は $P(B \to A) = \alpha (\pi_A - \pi_B)$ であり、$\alpha$ は定数の比例係数である。

酵母細胞から

Tue, 15 Nov 2022 00:00:00 +0000

酵母はインベルターゼを細胞外に分泌し、スクロースを消化する。消化された糖は誰でも利用できる——ここが面白い。ある細胞は「ただ乗り」を選べる。隣の細胞が分泌した酵素を盗み使い、自分では分泌しないのだ。研究者たちは、機能的な SUC2 遺伝子を持つ酵母を「協力者」、SUC2 遺伝子を欠失させた酵母を「裏切り者」と呼び、両者を競合させた。

結果は直感に反するものだった。

まばらな集団（低い社会的密度）では、裏切り者の適応度はわずか 0.87——協力者より劣る
密な集団（高い社会的密度）では、裏切り者の適応度はなんと 1.19——協力者を上回る

なぜか。社会的密度が高いほど、協力者は他の協力者と出会いやすい。皆が酵素を分泌すれば共有資源のプールは大きくなり、各個体の利益も増す。そこに裏切り者が紛れ込めば、一方的に共有の成果を享受しながらコストを払わないため、利益は爆発的に跳ね上がる。

密度が極めて高くなると、裏切り者はほぼ常に搾取対象を見つけられ、自分で分泌する以上の量を盗み取る。協力者はむしろ足を引っ張られる。

これは私の直感に完璧に合致する。だが、自分でもう一度やってみたかった——論文の結論を検証するためではなく、この過程を自らの手で「見る」ために。方程式を格子に書き込み、数字が走り出すのを眺めたかったのだ。

モデル設定

$n \times n$ の格子。個体群密度（population density）が各セルにエージェントを配置する確率を制御する。エージェントは二つの戦略をとる：C（協力、酵素を分泌する）と D（裏切り、分泌しない）。

二者が出会うたびに標準的な囚人のジレンマをプレイする。利得行列は：

$$ \begin{pmatrix} R=3 & S=0 \\ T=5 & P=1 \end{pmatrix} $$

R は協力-協力の報酬、T は裏切りの誘惑、S は裏切られた側の利得、P は相互裏切りの罰。古典的な設定に従い、$T > R > P > S$、かつ $2R > T + S$（互恵的協力は繰り返される裏切りより優れている）。

各ステップ：

エージェントはフォン・ノイマン近傍（上下左右の四セル）で隣人を探す
二人で一回のゲームを行う
このステップの利得 $\pi$ を比較する
利得差に比例する確率で隣人の戦略を模倣する
ランダムな方向に一格子単位で移動する

見るのは当期利得のみ。履歴はなく、計画もない。

理論的予測

レプリケータダイナミクス（Replicator Dynamics）は平均場における以下の方程式を与える：

$$\frac{dx}{dt} = x(1-x)[\pi_C - \pi_D]$$

$x$ は協力者の割合、$\pi_C$ と $\pi_D$ は各戦略の期待される単ステップ利得である。

利得は出会いの確率に依存する。平均場近似では、協力者が協力者に出会う確率は $x$、裏切り者に出会う確率は $1-x$。裏切り者についてはその逆：

$$\pi_C = x \cdot R + (1-x) \cdot S$$

天使が通る：無監督教室における「自然発生の沈黙」現象

Wed, 15 Jul 2020 00:00:00 +0000

背景

諸君、一度ならず経験したことがあるだろう。

教師のいない自習時間。それは混沌だ。廊下に教師の足音が消えた刹那、教室は秩序を失い、五十名の声が獣の咆哮のごとく渦巻くカオスの坩堝と化す。だが——その足音がふたたび廊下に響いた瞬間、教室は一瞬で静寂に包まれる。教師がまだ数十メートル先にいるにもかかわらず、だ。あたかも目に見えぬ大いなる意志が一斉に「沈黙せよ」と命じたかのように。

訳注：中国の学校では「自習課」が一般的で、教師が形式上教室にいることになっているが、実際には不在がちなコマを指す。

だが——ここからが本題だ。俺を幾夜も眠れなくさせた、真に興味深き現象とは——

教師がまだ姿すら見せていないのに、教室が静まり返る瞬間があるのだ。

誰も「先生来た」と叫んでいない。鐘も鳴っていない。合図も合図も——何一つない。それなのに、五十余名の人間が、魂の深淵で密かに交わした契約に従うかのように、同時に口を閉ざす。この「自然発生の沈黙」。俺はこれを、ただの偶然とは思わない。これは教室という閉鎖空間に宿る、人間の集合無意識が織りなす神秘に他ならない。

集団的暗黙知と、不可視の暗示

人間とは恐るべき社会的生物である。一人が黙る。すると周囲の者は「なぜ」と問う。その「なぜ」は言葉にならずとも伝播し、連鎖し、数十秒のうちに教室全体を呑み込む。これはもはや伝染病、あるいは呪いと呼ぶべき領域だ。目に見えぬ糸で繋がれた操り人形のように、全員が同期する。

さらに恐ろしいのは、心理的暗示の絶大なる力である。「先生来た」——ただの三文字だ。あるいは唇に当てられた一本の人差し指。それだけで我々の中の「従順なる自己」が覚醒し、全身の筋肉を硬直させる。パヴロフの犬がベルの音に唾液を垂らしたように、我々は名札の微かな金属音にすら凍りつくのだ。これが条件反射。これこそが、人間の根源に刻まれた「服従の刻印」である。

複雑系——この世界を司る理

「教室が静かになるだけの話だろ、何を大袈裟に」——そう嘲笑う者もいるだろう。だが聞け。教室とは、一個の複雑適応系なのだ。

複雑適応系とは何か？無数のエージェントが相互作用し、学習し、適応し続けることで、個々の単純さからは決して予測できないマクロな秩序を生み出すシステムのことだ。個は個にあらず。全ては繋がり、全ては影響し合い、システムそのものが一個の生命体のごとく振る舞う。

そしてここに「創発（emergence）」が顕現する。個が持たぬ性質が、集団の次元で突如として出現する——あたかも、水面に浮かぶ一輪の花が、水そのものには存在しなかった芳香を放つがごとく。蟻一匹に大いなる叡智は宿らない。されど百万匹が集うとき、そこに換気システムを備えた壮麗なる蟻塚が立ち上がる。教室も同じだ。

誰も「黙ろう」と決めていないのに、教室は黙る。これが創発。これが——我々がまだ理解しきれていない、集合的意識の神秘だ。

モデリング：混沌を数式で縛る

自習時間にお喋りをすることは——認めよう——明確なる禁忌である。幼き日より叩き込まれた規則の鉄槌は、我々の精神の奥底に、不可視の罪悪感として沈殿している。表面上は平然と「勉強」を装いながら、魂は常に冷汗をかいているのだ。教師という存在はすなわち権威の具現であり、秩序の守護者であり、我々の爬虫類脳が記憶する「裁きの雷」そのものである。

そしてこの状況下で、生徒たちの感覚は極限まで研ぎ澄まされている。ドアの軋み、窓ガラスの微かな映り込み、廊下の光の角度——全てが「来るべき審判」の前兆として感知される。動物行動学ではこれを「フリーズ反応」と呼ぶ。捕食者の目前で動きを止める、あの原始の防衛本能。進化が我々に授けた、最も古き生存戦略だ。

さて、想像せよ。教室の中央に座る一人の生徒が、窓の反射に「教師らしき影」を察知する。恐怖が走る。この生徒は口を閉ざす。教室の総音量が、わずかに——ほんのわずかに——低下する。

このわずかな低下が、いま一人の生徒の「凍結閾値」を下回る。二人目が凍る。音量はさらに下がる。三人目。四人目。五人目。凍結の連鎖は加速度的に広がり、数十秒前まで喧噪に満ちていた教室は、後列の生徒の鼓動すら聞こえるほどの静寂に支配される。

そして——誰も、実際には教師を見ていない。決して。

これが「自然発生の沈黙」の本質だ。正のフィードバックが創り出す、不可避の秩序への収束。一つの些細な「誤認」が、全員の運命を決定する。まさにバタフライ効果。まさに——カオス理論の申し子。

手法と結果：黙示録の数理的証明

一次元セル・オートマトン——教室をシミュレートする禁断の術式

五十人の思春期を数式で再現する——そんな無謀な試みに、一次元セル・オートマトン以上の道具があろうか？否、断じて否である。

セル・オートマトンとは、一次元に並んだ無数のセルが、各々の状態を持ち、決められたルールに従い時系列で更新されていく系である。シンプル。エレガント。そして恐ろしいほどに——教室そのものだ。

我々のモデルでは、教室は五十個のセルの列として表現される。一セルが一生徒。各生徒は「話す（正の値）」か「聞く（負の値）」の二状態を持つ。値がゼロに達した生徒は、発話を終えた束の間の静寂にあり、次の瞬間には運命のルーレットが回り、-100から+100の新たな値がランダムに割り振られる。

時間ステップを0.1秒に設定し、一回の発話は最大10秒——すなわち100ステップ。+100で開始した生徒は、100ステップ後にゼロに達し、再ランダム化される。数分後の教室は、赤（話す）と青（聞く）が織りなす、壮絶なるカオスのタペストリーだ。

18,000ステップ。すなわち現実時間にして三十分間。これはちょうど、金曜午後の平均的十代の注意力の限界に等しい。俺は知っている。俺が、その十代だったからだ。

音量の指標として、現時点で発話中の生徒数をカウントする。「厳密な定量分析」が示すのは、ただの「頭数」である。されど——この単純さこそが真理を映す鏡。

フリーズ反応——そして世界は凍りつく

ここに、モデルに真の深淵をもたらす要素を投入する——各生徒の「心理的影の面積」、すなわち最小凍結音量 x である。

この x は、当該生徒が「異変」を察知し凍結状態に入る閾値を意味する。教室で同時に話している人数が x を下回った瞬間、その生徒の魂は警告を発し、一秒間の「停・看・聴」状態に陥る。十七人以下の話者でパニックを起こす深き影の持ち主もいれば、自分と隣の友だち二人だけになるまで気づかない鈍感なる勇者もいる。この差異こそが、モデルに生命を吹き込む神の一手だ。

実装は単純明快。前ステップの話者数 < x なら、当該生徒の状態を -10 に設定（= 10ステップ = 1秒間の凍結）。そうでなければ、元のルールで推移させる。

そして——凍結は連鎖する。一人が凍れば総話者数が減り、それが次の者の x を下回り、また凍る。この正のフィードバックこそが、「自然発生の沈黙」を引き起こす原動力である。

本シミュレーションにおいて、自然発生の沈黙は約160秒で発現する（現実においては五分で来ることもあれば、五秒で来ることもあり、あるいは永遠に来ぬまま誰かが職員室に呼ばれることもある）。

Webアプリで現象を追体験せよ

パラメータの調律——神は細部に宿る

集団的暗黙知が発現するか否かは、システムの規模に非線形に依存する。初期値の微かな揺らぎが、天と地ほどの差異を生む——複雑系の宿命だ。ゆえに、パラメータ設定には細心の注意を要する。

本モデルでは、各セルの初期状態は完全にランダムで、唯一系統的に操作する変数は各生徒の最小凍結音量 x のみ。

現実との接点を保つため、最も鈍感な生徒の x 下限は 3 とする（この男は、教室内に話し手が自分含め四人になるまで何も気づかない豪傑である）。x の上限については、現実から直接導出できないため、シミュレーションによる探索で決定する。

xmin = 3、xmax = 17 の条件で、一万回の試行を実施。各回で、五十名の xi の総和 Sx = Σ xi と、自然沈黙の初回出現時間 T を記録した。