ドロー / Hypergeometric Distribution

Sun, 07 Jul 2024 00:00:00 +0000

あるゲームから

二十年前、俺はまだ小学生だった。毎日学校が終わると急いで家に帰り、遊戯王（Yu-Gi-Oh!）を一話見るのが日課だった。

このカードゲームには伝説のカードがある——封印されしエクゾディア（Exodia the Forbidden One）。このカードは五つのパーツをすべて揃えなければ効果を発揮しない。右足、左足、右手、左手、頭部。この五枚を揃えさえすれば、即座に勝利が決まる。

一組のデッキは四十枚。ルール上、同じカードは最大三枚まで（一部の特殊カードは一枚まで）しか入れられないため、この五つのパーツはデッキに多くとも各一枚しか入らない。

では問題だ。初手五枚で、五つのパーツすべてが揃う確率はどのくらいか？

これは古典的な「非復元抽出」の問題だ。有限の山札から何枚かを引き、一枚引くたびに山札は一枚減り、同じカードを二度引くことはない。（特殊効果で山札に戻すような裏技はひとまず考えない）

超幾何分布（Hypergeometric Distribution）は、まさにこうした状況のためにある。

有限の母集団に $N$ 個の単位があり、そのうち成功状態（注目したいタイプ）が $K$ 個、失敗状態が $N-K$ 個あるとする。この母集団から非復元で $n$ 個の単位を抽出し、抽出された成功状態の数を $X$ とすると、$X$ は超幾何分布に従う。

$$ X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n) $$

その確率質量関数は：

$$ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = \max(0, n - (N-K)), \ldots, \min(n, K) $$

この公式の論理は明快だ。分子は「$K$ 個の成功から $k$ 個を引く」組み合わせと「$N-K$ 個の失敗から $n-k$ 個を引く」組み合わせの積。分母は「全部で $N$ 個の中から $n$ 個を引く」総組み合わせ数である。

三つの核心パラメータ：

復元はなく、重複もない。一枚引くたびに、次の一枚を引く確率が変わる。

では、初手でエクゾディアが揃う確率を計算しよう。

デッキ $N = 40$、五つのパーツ $K = 5$、初手のドロー $n = 5$、すべてのパーツを引く確率、すなわち $k = 5$ である。