進化の速度と慣性

Sat, 04 Feb 2023 00:00:00 +0000

私は進化ゲーム理論の数学を理解しているわけではない。Replicator Dynamics も、自分にとっては単なる用語にすぎない。しかし、コンピュータ・シミュレーションならわかる。Agent-Based Model（ABM）こそが私の言語である。

いま、$n \times n$ のグリッド上に、グリッド数×人口密度のぶんだけエージェントを生成する。各ステップでエージェントはひとつの行動（action）を持ってグリッド上を動き、Von Neumann 近傍で別のエージェントを見つけてペアを作り、古典的なゲームを一局こなし、そのあと行動を更新して次のステップに進む。全エージェントが同じルールで行動を更新する。以上がモデルの基本要素である。

ここで、ひとつの決定的な変数を考えよう。エージェントは何にもとづいて行動を更新するのか。

一、このステップの利得 $P_1$ を隣人と比較し、次のステップでは $P_1$ の高い行動に変わる。

二、過去すべてのゲームの利得 $P_2$ を隣人と比較し、次のステップでは $P_2$ の高い行動に変わる。

ミクロな設定レベルでは、「現在を見る」か「歴史を見る」かの違いにすぎない。しかしこの二つのモデルを数学で記述しようとすると、両者はまったく異なる物理的ダイナミクス——一次系と二次系、速度と加速度——に対応していることが見えてきた。

以下、この導出を一段階ずつ進めていく。

コードから方程式へ：平均場近似

コンピュータ・シミュレーションの世界には $n \times n$ のグリッドがあり、エージェントはその上を歩きまわり、隣人を探す。数学者はここで「手抜き」だが極めて強力な仮定を置く——平均場近似（Mean-Field Approximation）：グリッドは無限大で、全員が気体分子のように完全に混合しており、ランダムに出会う、と仮定するのである。

これは何を意味するか。いま、全グリッド上で割合 $x$ の人々が戦略 $A$ を、割合 $1-x$ の人々が戦略 $B$ を採用しているとしよう。微小な時間幅 $\Delta t$ のあいだに、ランダムに一人のエージェントを選び出す。そのエージェントが戦略 $B$ である確率は $1-x$ である。そして、そのエージェントがたまたま戦略 $A$ の隣人に出会う確率は $x$ である。つまり、「$B$ が $A$ に出会う」という事象の同時確率は $x(1-x)$ になる。

$B$ が $A$ に出会ったあと、$A$ に変わるかどうか。我々のルールでは、比較するのは利得である。戦略切り替えの確率は両者の利得差に比例すると仮定しよう。つまり $\pi_A > \pi_B$ ならば、$B$ が $A$ に変わる確率は $P(B \to A) = \alpha (\pi_A - \pi_B)$ であり、$\alpha$ は定数の比例係数である。

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コードから方程式へ：平均場近似