随机演化过程

Sat, 28 Jan 2023 00:00:00 +0000

上篇文章甩出了复制子动力学方程 $\frac{dx}{dt} = x(1-x)(\pi_C - \pi_D)$。没解释从哪来的。

憋着难受。今天补上。

这个方程不是拍脑袋写出来的。它的背后，是"大量个体随机互动"的宏观涌现。说人话：一群人瞎折腾，最后折腾出了规律。

微观随机，宏观确定。这是演化博弈论最迷人之处。

从离散随机过程开始

还是囚徒困境。

群体 $N$ 人，策略只有两种：C 或 D。

记时刻 $t$ 的合作者数量为 $k$。那么合作比例 $x = \frac{k}{N}$。

系统状态？只需要跟踪 $k = 0, 1, 2, \ldots, N$。

这活脱脱一个马尔可夫链（Markov Chain）——下一步长什么样，只看现在，不问过去。

规则简单到有点粗暴：

高收益策略扩散，低收益策略收缩。 Darwin 的影子若隐若现。

于是状态 $k$ 每次只跳一个单位：$k \to k+1$ 或 $k \to k-1$。

这叫出生-死亡链（birth-death chain）。名字很直观，生死之间，一进一退。

先算合作者的平均收益。

当前合作者 $k$ 人，背叛者 $N-k$ 人。

合作比例 $x = \frac{k}{N}$，所以：

群体总"适应度"：