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普林斯顿微积分读本 X

Sun, 27 Jun 2021 00:00:00 +0000

§体积、弧长和表面积

For volumes and surface areas, we’ll pay special attention to solids which are formed by revolving a region in the plane about some axis which lies in the plane; such solids are called solids of revolution.

圆盘法（disc method）和壳法（shell method）求体积
求更一般固体的体积
求光滑曲线（smooth curve）的弧长（arc lengths）和带参数的质点（parametric particles）速率
求旋转体（solids of revolution）的表面积

29.1 旋转体的体积

定积分的回顾（见第16章）

So here’s the pattern: we make a little strip of width $\mathrm{d}x$ units and height $y$ units at position $x$ on the $x$-axis, work out its area, then put a definite integral sign in front to get the total area we’re looking for.

普林斯顿微积分读本 IX

Mon, 21 Jun 2021 00:00:00 +0000

§参数方程和极坐标

参数方程（parametric equations）、图像和切线（tangents）
笛卡尔坐标（Cartesian coordinates）和极坐标（polar coordinates）的转换
极坐标曲线（polar curve）的切线
极坐标曲线围成的面积

27.1 参数方程

…suppose that both $x$ and $y$ are functions of another variable $t$.

$x=3\cos(t)$ 和 $y=3\sin(t)$，其中 $0{\leq}t{\leq}2\pi$ 是圆 $x^2+y^2=9$ 的参数化（parametrization）

The variable $t$ is called a parameter, and the above equations are called parametric equations.

描点作图：

$t$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$x$	$3$	$3\sqrt{3}/2$	$3/\sqrt{2}$	$3/2$	$0$
$y$	$0$	$3/2$	$3/\sqrt{2}$	$3\sqrt{3}/2$	$3$

可以得到圆（$x^2+y^2=(3\cos(t))^2+(3\sin(t))^2=9$）的四等分弧（quarter-arc）

$t$ 的周期为 $2\pi$，也可以使 $t$ 从 $0$ 向 $t<0$ 的区间取点作图，得到完整的圆

普林斯顿微积分读本 VIII

Sat, 19 Jun 2021 00:00:00 +0000

§泰勒多项式、泰勒级数与幂级数

近似值（approximations）、泰勒多项式和泰勒近似定理（Taylor approximation theorem）
近似值的精确度和泰勒定理
幂级数
泰勒级数和麦克劳林级数（Maclaurin series）
泰勒级数的收敛性问题

24.1 近似值和泰勒多项式

Here’s a nice fact: for any real number $x$, we have
$$ > e^x \cong 1 + x + {x^2\over2} + {x^3\over6} > $$
Also, the closer x is to 0, the better the approximation.

24.1.1 线性化的回顾

平滑的函数可经过多次求导（见13.2），曲线在点 $(a,f(a))$ 处的切线的方程为：

$$ y=f(a)+f'(a)(x-a) $$

称为函数 $f$ 在 $x=a$ 处的线性化（linearization）

线性近似，即在切点处附近，切线与曲线差别很小

24.1.2 二次方程近似

二次近似（quadratic approximates）

$$ y=f(a)+f'(a)(x-a)+{f''(a)\over2}(x-a)^2 $$

关于 $x$ 的二次函数

$P_2(x)=y$，代入 $x=a$ 时，$P_2(a)=f(a)$
$P_2'(x)=f'(a)+f''(a)(x-a)$，代入 $x=a$ 时，$P_2'(a)=f'(a)$
$P_2''(x)=f''(a)$，代入 $x=a$ 时，$P_2''(a)=f'(a)$
因为 $f''(a)$ 是一个常数，$P_2'''(x)=0$

The second-order correction term helps us get even closer to the curve, at least for $x$ near $a$.

普林斯顿微积分读本 VII

Wed, 09 Jun 2021 00:00:00 +0000

§数列和级数：基本概念

数列（sequences）的收敛和发散
两个重要的数列
数列极限与函数极限的关系
级数的收敛与发散，以及几何级数（geometric series）的敛散性
第 $n$ 项判别法（the $n$th term test for series）
级数和反常积分的联系
比式判别法（ratio test）、根式判别法（root test）、积分判别法（integral test）和交错级数判别法（alternating series test）

22.1 数列的收敛和发散

无穷数列（infinite sequence）的敛散性

In math notation, does $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ exist, and if so, what is it?

22.1.1 数列和函数的关系

There’s also a connection to horizontal asymptotes:

若 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L$，则 $y=f(x)$ 的图像有水平渐近线 $y=L$

For example, if you have two convergent sequences $a_n$ and $b_n$, such that $a_n \to L$ and $b_n \to M$ as $n \to \infty$, then the sum $a_n + b_n$ gives a new sequence which converges to $L + M$. The same goes for differences, products, quotients (provided that $M \neq 0$, since you can’t divide by $0$), and constant multiples.

普林斯顿微积分读本 V

Thu, 13 May 2021 00:00:00 +0000

§积分的方法（一）

替代法（substitution）
分部积分法（integration by parts）
使用部分积分对有理函数求积分

18.1 替代法

Example1

$$ \begin{aligned} \int{x^2\cos(x^3)\mathrm{d}x} &=\int{\cos(x^3)(x^2\mathrm{d}x)}\\ &=\int{\cos(t)({1\over3}\mathrm{d}t)}={1\over3}\sin(t)+C \\ \int{e^{2x}\sec^2(e^{2x})\mathrm{d}x} &=\int{\sec^2(e^{2x})(e^{2x}\mathrm{d}x})\\ &=\int{\sec^2(t)({1\over2}\mathrm{d}t)}={1\over2}\tan(t)+C \end{aligned} $$

Example2

$$ \int{\frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x}=\ln|f(x)|+C $$

Example3

$$ \int\frac{1}{x\ln{x}}\mathrm{d}x=\int\frac{1/x}{\ln{x}}\mathrm{d}x=\ln|\ln{x}|+C $$

18.1.1 换元法和定积分

So one way to use the substitution method on a definite integral is to focus on the indefinite integral first, then after you’ve found it, plug in the limits of integration.

换元法：先换元求不定积分，然后把积分上下限分别代入求定积分；或者对上下限也进行换元计算

Example

$$ \int_{1/\sqrt{2}}^{\sqrt{3}/2}{\frac{1}{\sin^{-1}(x)\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x} $$

$\arcsin(x)$ 的导数是 $1\over\sqrt{1-x^2}$，所以用 $t=\arcsin(x)$

$$ \int{\frac{1}{\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x}=\int{\frac{1/\sqrt{1-x^2}}{\arcsin(x)}\mathrm{d}x}\int{1\over{t}}\mathrm{d}t=\ln|t|+C $$

18.1.2 替代公式的决定

Example

普林斯顿微积分读本 VI

Thu, 06 May 2021 00:00:00 +0000

§反常积分的基本概念

反常积分（improper integrals）的定义、收敛（convergence）和发散（divergence）
无界区间（over unbounded regions）的反常积分
比较判别法（comparison test）、极限比较判别法、p 判别法和绝对收敛比较判别法的理论基础

20.1 收敛和发散

积分有意义：$\int_a^b{f(x)}{\mathrm d}x$ 的被积函数在区间 $[a,b]$ 内有界且连续（有限个间断点也可以）的；或者无限多个不连续点（infinitely many discontinuities）（见16.7）

反常积分的定义：满足以下任一条件

$f$ 在区间 $[a,b]$ 内无界
$b=\infty$ 或
$a=-\infty$

If $f(x)$ is unbounded for $x$ near some number $c$, we’ll say that f has a blow-up point at $x = c$. Again, in most situations, this is the same thing as a vertical asymptote.

破裂点（blow-up point）的大多数情况是垂直渐近线，需要使用极限思想

if the integral isn’t improper, it automatically converges!

普林斯顿微积分读本 IV

Mon, 03 May 2021 00:00:00 +0000

§积分

求和符号（sigma notation）
位移与面积的关系
使用分区的方法求面积

15.1 求和符号

求和符号 —— sigma notation

In general, the number of integers between $A$ and $B$, including $A$ and $B$, is $B - A + 1$.

注意：$\sum\limits_{A}^{B}$ 共有 $B-A+1$ 个数求和

15.1.1 一个有用的求和

$$ S = \sum_{i=1}^{100}i = \sum_{i=1}^{100}(101-i) $$

$2S = \sum_{i=1}^{100}(i+101-i) = \sum\limits_{i=1}^{100}101$

15.1.2 伸缩求和法

伸缩级数（telescoping series）

$$ \sum_{j=a}^{b}(f(j)-f(j-1))=f(b)-f(a-1) $$

15.2 位移与面积

15.2.4 连续速度

$$ mesh=max(t_1 - t_0); (t_2 - t_1); ... ; (t{n-1} - t{n-2}); (t_n - t_{n-1}) $$

Riemann sum（黎曼和）：速度曲线下的实际面积

普林斯顿微积分读本 III

Thu, 15 Apr 2021 00:00:00 +0000

§最优化和线性化

最优化（optimization）
线性近似（linearization）
估算函数的零点
牛顿法（Newton’s method）

13.1 最优化

Identify all the variables you might possibly need. One of them should be the quantity you want to maximize or minimize - make sure you know which one! Let’s call it $Q$ for now, although of course it might be another letter like $P$, $m$, or $\alpha$.

Get a feel for the extremes of the situation, seeing how far you can push your variables. (For example, in the problem from the previous section, we saw that $x$ had to be between $2$ and $8$.)

Write down equations relating the variables. One of them should be an equation for $Q$.

Try to make $Q$ a function of only one variable, using all your equations to eliminate the other variables.

Differentiate $Q$ with respect to that variable, then find the critical points; remember, these occur where the derivative is $0$ or the derivative doesn’t exist.

Find the values of $Q$ at all the critical points and at the endpoints. Pick out the maximum and minimum values. As a verification, use a table of signs or the sign of the second derivative to classify the critical points.

Write out a summary of what you’ve found, identifying the variables in words rather than symbols (wherever possible).

考虑所有可能需要的变量
确认极端变量的可能
写出不同变量的方程
构建单变量函数
求导，计算临界点
计算临界点及端点的函数值，使用一阶或二阶导数判断最大值和最小值
结论

注意：构建单变量函数时，有时候可以通过隐函数求导

普林斯顿微积分读本 II

Mon, 12 Apr 2021 00:00:00 +0000

§微分

通过定义求导
乘法法则、除法法则和链式法则
切线方程
速度和加速度
求导数伪装的极限
分段函数的求导
根据函数图像画出导函数的图像

6.1 通过定义求导

定义：

$$ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

例如，$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}({1 \over x}) = -\frac{1}{x^2}$ 和 $\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(\sqrt x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

幂函数 $f(x) = x^n$ 的导数的推导（略），当 $n > 0, n\in\Bbb{Z}$ 时

$$ \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(x^n) = nx^{n-1} $$

在上面的两个例子中，可见 $n = -1, n = 1/2$ 时，等式成立

事实上，对所有实数 $n\in\Bbb{R}$，等式成立（详见第9章）

当 $n = 0$ 时，$x^n = 1$，$nx^{n-1} = 0$，$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}(1) = 0$

普林斯顿微积分读本 I

Fri, 02 Apr 2021 00:00:00 +0000

§函数、图像与直线

函数，定义域（domain）、上域（codomain）、值域（range）和垂直线检验
反函数和水平线检验
复合函数
奇偶性
函数图像
绝对值处理

1.1 函数

it’s technically not correct to say “$f(x)$ is a function”; it should be “$f$ is a function.”

$f$ 是一个函数（√）

$f(x)$ 是一个函数（×）

a function must assign a unique output for each valid input.

函数：每一个有效输入指定唯一的输出（一一对应）

The codomain is a set of possible outputs, while the range is the set of actual outputs.

设 $f$ 是从始集 $X$ 到终集 $Y$ 的关系，$f$ 的定义域 $D(G)$ 为 $X$，且对任何 $x \in X$ 都有惟一的 $y\in Y$ 满足 $f(x,y)$，则称 $f$ 为 $X \to Y$ 的映射